I risultati più influenti di Lipton


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Richard J. Lipton è stato selezionato come vincitore del Premio Knuth 2014 "per Introduzione di nuove idee e tecniche".

Quali sono secondo te le principali nuove idee e tecniche sviluppate da Lipton?

Nota. Questa domanda diventerà wiki della comunità, per favore metti una di queste idee, tecniche o risultati per risposta.


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Congratulazioni a Richard J.Lipton! :-)
Marzio De Biasi,

Blog di RJLipton (~ 5 anni) con collegamenti ai suoi libri / ricerche ecc.
vzn

1
Sarebbe bello se qualcuno scrivesse qualcosa sulla complessità della comunicazione multipartitica e sul numero sul modello frontale. Non ho tempo al momento.
Sasho Nikolov,

Ecco un link alla conferenza sul Premio Knuth: techtalks.tv/talks/…
Michael Wehar,

1
Ci sono due articoli non ancora menzionati qui che hanno entrambi oltre 500 citazioni su Google Scholar: scholar.google.com/… (Aleliunas et al., Su L vs. NL, un importante documento sulla complessità) e scholar.google.com/… (De Millo et al., Sul perché i test sono forse meglio delle prove formali della correttezza dei programmi - controverse!)
András Salamon,

Risposte:


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Il teorema del separatore planare afferma che in qualsiasi grafico planare -vertex esiste un insieme di vertici cui rimozione lascia il grafico disconnesso in almeno due componenti approssimativamente bilanciate. Inoltre, un tale insieme può essere trovato in tempo lineare. Questo (stretto) risultato, dimostrato da Lipton e Tarjan (migliorando su un risultato precedente di Ungar) è un potente strumento per progettare algoritmi su grafici planari. Fornisce molti esatti algoritmi di tempo subexponential per problemi NP-hard e algoritmi di approssimazione del tempo polinomiale migliorati. Guardare la pagina di Wikipedia offre un buon punto di partenza per esplorare le numerose applicazioni. Un sondaggio inizialensolO(n) con i dettagli di una serie di domande è stata scritta da Lipton e Tarjan nel 1980.


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Quasi tutti questi algoritmi si basano su tecniche di decomposizione e non su un separatore planare. Inoltre ci sono molte varianti di prova di quel teorema di separatore, dovremmo dire grazie a tutti quegli inventori di prove. Nel modo in cui hai parlato del separatore, dovremmo dire grazie al ragazzo che ha trovato i numeri per primi (non hanno nemmeno trovato un piccolo separatore planare all'inizio, hanno solo migliorato quelli vecchi). Si noti che nelle decomposizioni abbiamo bisogno di un tipo più speciale di separatori. Tecniche di decomposizione per lo più ottenute dal lavoro di Robertson e Seymour, che di solito funziona anche con minori esclusi.
Saeed,

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@Saeed come al solito, suoni stranamente combattivo. Questa è la wiki della community, sentiti libero di migliorare la risposta come ritieni opportuno. Ho aggiunto che non hanno scoperto piccoli separatori planari. Per quanto ne so, per ogni applicazione che cito c'è un esempio che funziona tramite il teorema del separatore planare (e un numero di esempi può essere trovato in un sondaggio del 1980 di Lipton e Tarjan). Ciò non significa che non siano necessari altri strumenti o che non esistano altri metodi. L'articolo di Lipton e Tarjan precede i risultati di Alon, Robertson e Seymour di oltre 10 anni.
Sasho Nikolov,

3
@Saeed, inoltre, non posso credere che suggeriresti con una faccia seria che il teorema del separatore planare non gioca un ruolo più sostanziale in queste applicazioni della costruzione dei numeri naturali. Questo è ridicolo!
Sasho Nikolov,

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In ogni caso, proviamo ad essere più costruttivi. Graph Minors I è del 1983, ed è il primo articolo di Robertson e Seymour insieme, quindi non vedo il tuo punto lì. In ogni caso non nego che queste idee esistessero prima: il risultato di Ungar è degli anni '50. Il punto è che dimostrare che il limite stretto è stato un risultato fondamentale, e ci sono un certo numero di algoritmi esatti e di approssimazione che necessitano solo del teorema di Lipton e Tarjan o di scomposizioni che lo usano come una scatola nera. L'indagine del 1980 fornisce già alcuni esempi (che precedono Graph Minors I).
Sasho Nikolov,

3
Il loro risultato è molto bello (come molti altri buoni risultati) ma la formulazione di questa risposta è in modo tale da esagerare troppo. ad esempio, il separatore planare non è in realtà uno strumento principale per affrontare problemi difficili nei grafici planari, almeno al giorno d'oggi, quando ci sono molte tecniche di decomposizione per scenari più generali. Voglio anche sottolineare che il loro lavoro è eccezionale, ma non eccezionale anche ai loro tempi (+ -5 anni). Tutto ciò che ho detto in questi due commenti è solo ripetere le mie parole precedenti solo perché a te e ad altri 4 piace fare un attacco personale.
Saeed,

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Il teorema di Karp-Lipton afferma che non può avere circuiti booleani di dimensioni polinomiali a meno che la gerarchia polinomiale non collassi al suo secondo livello.NP

Due implicazioni di questo teorema per la teoria della complessità:

  • probabilmente non ha circuiti booleani di dimensioni polinomiali; dimostrare limiti inferiori sulle dimensioni dei circuiti è quindi un possibile approccio per separare le classi di complessità.NP
  • Numerosi risultati si basano su questo teorema per dimostrare la separazione delle classi di complessità (ad esempio il teorema di Kannan).

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Auto-riducibilità casuale del permanente . Lipton mostrò che se esiste un algoritmo che calcola correttamente la frazione permanente di di tutti F n × n , dove F è un campo finito di dimensioni di almeno 3 n , allora questo algoritmo può essere usato come una scatola nera per calcolare il permanente di qualsiasi matrice con alta probabilità.1-1/(3n)Fn×nF3n

L'idea principale è che il permanente è un polinomio di basso grado, quindi la sua composizione con una funzione affine univariata è un polinomio univariato di basso grado (in x ) e può essere appreso esattamente da un piccolo numero di valori tramite interpolazione . Puoi scegliere una B casuale in modo che la composizione sia distribuita come permanente di una matrice casuale per qualsiasi x . A x = 0 il polinomio univariata è solo il permanente di A . I dettagli sono disponibili nel capitolo 8 di Arora Barak .UN+XBXBXX=0UN

Questo approccio algebrico è stato estremamente influente nella teoria della complessità. Le idee di Lipton alla fine portarono alla dimostrazione del teorema IP = PSPACE, alla dimostrazione del teorema PCP e ai risultati sui codici locali di correzione degli errori.


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Non sono sicuro al 100% se la spiegazione che segue è storicamente accurata. In caso contrario, non esitare a modificare o rimuovere.

Il test di mutazione è stato inventato da Lipton. I test di mutazione possono essere visti come un modo per misurare la qualità o l'efficacia di una suite di test. L'idea chiave è quella di iniettare errori nel programma da testare (cioè di mutare il programma), preferibilmente i tipi di errori che un programmatore umano è suscettibile di fare e vedere se la suite di test trova i guasti introdotti. Un tipico esempio del tipo di test di mutazione dei guasti potrebbe essere quello di sostituire x> 0 con x <0 o sostituire x con x + 1 o x-1. La frazione di guasti rilevati dalla suite di test è il "punteggio di adeguatezza della mutazione" di una suite di test. Parlando molto liberamente, si può pensare a questo come a un metodo Monte-Carlo per calcolare il punteggio di adeguatezza delle mutazioni.

Più astrattamente si potrebbe dire che il test di mutazione porta in primo piano una simmetria o dualità tra un programma e le sue suite di test: non solo la suite di test può essere utilizzata per diventare più fiduciosa sulla correttezza di un programma, ma al contrario, un programma può essere utilizzato per acquisire sicurezza sulla qualità di una suite di test.

Alla luce di questa dualità, anche il test di mutazione è concettualmente vicino all'iniezione di guasti . Entrambi sono tecnicamente simili ma hanno scopi diversi. Il test di mutazione cerca di misurare la qualità della suite di test, mentre l'iniezione di guasti cerca di stabilire la qualità del programma, di solito la qualità della sua gestione degli errori.

Recentemente, le idee tratte dai test di mutazione sono state utilizzate per testare (formalizzazioni di) teorie logiche. Per parafrasare l'abstract di (4): Quando si sviluppano formalizzazioni non banali in un proveratore di teoremi, una considerevole quantità di tempo è dedicata alle speculazioni e ai teoremi di "debugging". In genere, durante i tentativi di correzione non riusciti vengono rilevate specifiche o teoremi errati. Questa è una forma costosa di debug. Pertanto è spesso utile testare congetture prima di intraprendere una prova. Un possibile modo per farlo è quello di assegnare valori casuali alle variabili libere della congettura e quindi valutarlo. (4) utilizza mutazioni per testare la qualità dei generatori di test case usati.

Storia . Da (1): la storia del test di mutazione può essere fatta risalire al 1971 in un documento dello studente di Richard Lipton [...] La nascita del campo può anche essere identificata in altri articoli pubblicati alla fine degli anni '70 da Lipton et al. (2) e anche Amleto (3).

  1. Deposito dei test di mutazione: teoria dei test di mutazione .

  2. RA DeMillo, RJ Lipton, FG Sayward, Suggerimenti per la selezione dei dati di test: aiuto per il programmatore praticante .

  3. RG Hamlet, Programmi di test con l'aiuto di un compilatore .

  4. S. Berghofer, T. Nipkow, Test casuali a Isabelle / HOL. .


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Schwartz - Zippel - DeMillo-Lipton Lemma è uno strumento fondamentale nella complessità aritmetica: in sostanza afferma che se si desidera sapere se un circuito aritmetico rappresenta il polinomio zero, tutto ciò che serve è valutare il circuito su un ingresso. Quindi otterrai un valore diverso da zero con una buona probabilità se il circuito non rappresenta il polinomio zero.

Questo è un lemma particolarmente importante poiché non è noto alcun algoritmo deterministico in tempo polinomiale per questo problema.

Il lemma è generalmente noto come Lemartz di Schwartz-Zippel . Una storia di questo lemma può essere trovata sul blog di Lipton .


4
Come sottolineato in un commento sepolto in fondo a quel post sul blog, vale la pena ricordare che un importante caso speciale di questo lemma risale almeno al 1922, quando fu dimostrato da Ore (vedi "Campi finiti" di Lidl e Niederreiter, Teorema 6.13 e note del capitolo).
Ashley Montanaro,

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La copribilità nei sistemi di addizione vettoriale è difficile da EXPSPACE : in RJ Lipton, il problema della raggiungibilità richiede spazio esponenziale , Rapporto di ricerca 63, Yale University, 1976.

dv0,UNv0NdUNZdNdvv'uUNv'=v+uv'vNdv0v1vnvnvNdvn(io)v(io)1iod. In combinazione con un limite superiore di EXPSPACE dimostrato da C. Rackoff nel 1978 , il risultato di Lipton mostra la completezza di EXPSPACE.

vn=v


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La complessità della comunicazione multipartito e il modello Numero sulla fronte sono stati introdotti da Ashok K. Chandra , Merrick L. Furst e Richard J. Lipton in Multi-party Protocols , STOC 1983, doi: 10.1145 / 800061.808737 .

Il modello multiparty è una naturale estensione del modello a due parti della complessità della comunicazione di Yao , in cui Alice e Bob hanno ciascuno metà non sovrapposte dei bit di input e desiderano comunicare per calcolare una funzione predeterminata dell'intero input. Tuttavia, l'estensione della partizione dei bit di input a più parti spesso non è molto interessante (per limiti inferiori, di solito si possono semplicemente considerare le prime due parti).

kkn

n

NKNK=3NO(logN)NK(2n-1)O(n)

0

N


Sembra molto bello, grazie per aver seguito il mio suggerimento.
Sasho Nikolov,
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