I risultati più influenti di Lipton

Richard J. Lipton è stato selezionato come vincitore del Premio Knuth 2014 "per Introduzione di nuove idee e tecniche".

Quali sono secondo te le principali nuove idee e tecniche sviluppate da Lipton?

Nota. Questa domanda diventerà wiki della comunità, per favore metti una di queste idee, tecniche o risultati per risposta.

Il teorema del separatore planare afferma che in qualsiasi grafico planare -vertex esiste un insieme di vertici cui rimozione lascia il grafico disconnesso in almeno due componenti approssimativamente bilanciate. Inoltre, un tale insieme può essere trovato in tempo lineare. Questo (stretto) risultato, dimostrato da Lipton e Tarjan (migliorando su un risultato precedente di Ungar) è un potente strumento per progettare algoritmi su grafici planari. Fornisce molti esatti algoritmi di tempo subexponential per problemi NP-hard e algoritmi di approssimazione del tempo polinomiale migliorati. Guardare la pagina di Wikipedia offre un buon punto di partenza per esplorare le numerose applicazioni. Un sondaggio iniziale$n$$G$$O(\sqrt{n})$ con i dettagli di una serie di domande è stata scritta da Lipton e Tarjan nel 1980.

Il teorema di Karp-Lipton afferma che non può avere circuiti booleani di dimensioni polinomiali a meno che la gerarchia polinomiale non collassi al suo secondo livello.$\mathsf{NP}$

Due implicazioni di questo teorema per la teoria della complessità:

• probabilmente non ha circuiti booleani di dimensioni polinomiali; dimostrare limiti inferiori sulle dimensioni dei circuiti è quindi un possibile approccio per separare le classi di complessità.$\mathsf{NP}$
• Numerosi risultati si basano su questo teorema per dimostrare la separazione delle classi di complessità (ad esempio il teorema di Kannan).

Auto-riducibilità casuale del permanente . Lipton mostrò che se esiste un algoritmo che calcola correttamente la frazione permanente di di tutti F n × n , dove F è un campo finito di dimensioni di almeno 3 n , allora questo algoritmo può essere usato come una scatola nera per calcolare il permanente di qualsiasi matrice con alta probabilità.$1-1/(3n)$$\mathbb{F}^{n\times n}$$\mathbb{F}$$3n$

L'idea principale è che il permanente è un polinomio di basso grado, quindi la sua composizione con una funzione affine univariata è un polinomio univariato di basso grado (in x ) e può essere appreso esattamente da un piccolo numero di valori tramite interpolazione . Puoi scegliere una B casuale in modo che la composizione sia distribuita come permanente di una matrice casuale per qualsiasi x . A x = 0 il polinomio univariata è solo il permanente di A . I dettagli sono disponibili nel capitolo 8 di Arora Barak .$A + xB$$x$$B$$x$$x = 0$$A$

Questo approccio algebrico è stato estremamente influente nella teoria della complessità. Le idee di Lipton alla fine portarono alla dimostrazione del teorema IP = PSPACE, alla dimostrazione del teorema PCP e ai risultati sui codici locali di correzione degli errori.

Non sono sicuro al 100% se la spiegazione che segue è storicamente accurata. In caso contrario, non esitare a modificare o rimuovere.

Il test di mutazione è stato inventato da Lipton. I test di mutazione possono essere visti come un modo per misurare la qualità o l'efficacia di una suite di test. L'idea chiave è quella di iniettare errori nel programma da testare (cioè di mutare il programma), preferibilmente i tipi di errori che un programmatore umano è suscettibile di fare e vedere se la suite di test trova i guasti introdotti. Un tipico esempio del tipo di test di mutazione dei guasti potrebbe essere quello di sostituire x> 0 con x <0 o sostituire x con x + 1 o x-1. La frazione di guasti rilevati dalla suite di test è il "punteggio di adeguatezza della mutazione" di una suite di test. Parlando molto liberamente, si può pensare a questo come a un metodo Monte-Carlo per calcolare il punteggio di adeguatezza delle mutazioni.

Più astrattamente si potrebbe dire che il test di mutazione porta in primo piano una simmetria o dualità tra un programma e le sue suite di test: non solo la suite di test può essere utilizzata per diventare più fiduciosa sulla correttezza di un programma, ma al contrario, un programma può essere utilizzato per acquisire sicurezza sulla qualità di una suite di test.

Alla luce di questa dualità, anche il test di mutazione è concettualmente vicino all'iniezione di guasti . Entrambi sono tecnicamente simili ma hanno scopi diversi. Il test di mutazione cerca di misurare la qualità della suite di test, mentre l'iniezione di guasti cerca di stabilire la qualità del programma, di solito la qualità della sua gestione degli errori.

Recentemente, le idee tratte dai test di mutazione sono state utilizzate per testare (formalizzazioni di) teorie logiche. Per parafrasare l'abstract di (4): Quando si sviluppano formalizzazioni non banali in un proveratore di teoremi, una considerevole quantità di tempo è dedicata alle speculazioni e ai teoremi di "debugging". In genere, durante i tentativi di correzione non riusciti vengono rilevate specifiche o teoremi errati. Questa è una forma costosa di debug. Pertanto è spesso utile testare congetture prima di intraprendere una prova. Un possibile modo per farlo è quello di assegnare valori casuali alle variabili libere della congettura e quindi valutarlo. (4) utilizza mutazioni per testare la qualità dei generatori di test case usati.

Storia . Da (1): la storia del test di mutazione può essere fatta risalire al 1971 in un documento dello studente di Richard Lipton [...] La nascita del campo può anche essere identificata in altri articoli pubblicati alla fine degli anni '70 da Lipton et al. (2) e anche Amleto (3).

1. Deposito dei test di mutazione: teoria dei test di mutazione .

2. RA DeMillo, RJ Lipton, FG Sayward, Suggerimenti per la selezione dei dati di test: aiuto per il programmatore praticante .

3. RG Hamlet, Programmi di test con l'aiuto di un compilatore .

4. S. Berghofer, T. Nipkow, Test casuali a Isabelle / HOL. .

Schwartz - Zippel - DeMillo-Lipton Lemma è uno strumento fondamentale nella complessità aritmetica: in sostanza afferma che se si desidera sapere se un circuito aritmetico rappresenta il polinomio zero, tutto ciò che serve è valutare il circuito su un ingresso. Quindi otterrai un valore diverso da zero con una buona probabilità se il circuito non rappresenta il polinomio zero.

Questo è un lemma particolarmente importante poiché non è noto alcun algoritmo deterministico in tempo polinomiale per questo problema.

Il lemma è generalmente noto come Lemartz di Schwartz-Zippel . Una storia di questo lemma può essere trovata sul blog di Lipton .

La copribilità nei sistemi di addizione vettoriale è difficile da EXPSPACE : in RJ Lipton, il problema della raggiungibilità richiede spazio esponenziale , Rapporto di ricerca 63, Yale University, 1976.

$d$$\langle v_0,A\rangle$$v_0$$\mathbb{N}^d$$A$$\mathbb{Z}^d$$\mathbb{N}^d$$v\to v'$$u$$A$$v'=v+u$$v'$$v$$\mathbb{N}^d$$v_0\to v_1\to\cdots\to v_n$$v_n\geq v$$\mathbb{N}^d$$v_n(i)\geq v(i)$$1\leq i\leq d$. In combinazione con un limite superiore di EXPSPACE dimostrato da C. Rackoff nel 1978 , il risultato di Lipton mostra la completezza di EXPSPACE.

$v_n=v$

La complessità della comunicazione multipartito e il modello Numero sulla fronte sono stati introdotti da Ashok K. Chandra , Merrick L. Furst e Richard J. Lipton in Multi-party Protocols , STOC 1983, doi: 10.1145 / 800061.808737 .

Il modello multiparty è una naturale estensione del modello a due parti della complessità della comunicazione di Yao , in cui Alice e Bob hanno ciascuno metà non sovrapposte dei bit di input e desiderano comunicare per calcolare una funzione predeterminata dell'intero input. Tuttavia, l'estensione della partizione dei bit di input a più parti spesso non è molto interessante (per limiti inferiori, di solito si possono semplicemente considerare le prime due parti).

$k$$k$$n$

$n$

$N$$k$$N$$k=3$$N$$O(\sqrt{\log N})$$N \le k(2^n-1)$$O(\sqrt{n})$

$^0$

$N$