Isomorfismo grafico con relazione di equivalenza sul set di vertici

Un grafico colorato può essere descritto come tupla dove è un grafico è la colorazione. Si dice che due grafici colorati e siano isomorfi se esiste un isomorfismo tale che la colorazione sia rispettata, cioè per tutti .$(G,c)$$G$$c : V(G) \rightarrow \mathbb{N}$$(G,c)$$(H,d)$$\pi : V(G) \rightarrow V(H)$$c(v) = d(\pi(v))$$v \in V(G)$

Questa nozione cattura l'isomorfismo dei grafici colorati in un senso molto rigoroso. Considera il caso in cui hai due mappe politiche della stessa regione ma usano set di colori diversi. Se si chiede se sono colorati nello stesso modo, si suppone che ciò significhi se esiste una mappatura biiettiva tra i due set di colori in modo tale che i colori di entrambe le mappe coincidano tramite questa mappatura. Questa nozione può essere formalizzata descrivendo grafici colorati come tupla dove è una relazione di equivalenza sul set vertice del . Possiamo quindi dire che due di questi grafici e sono isomorfi se esiste un isomorfismo tale che per tutte le coppie∼ G ( G , ∼ 1 ) ( H , ∼ 2 ) π : V ( G ) → V ( H ) v 1 , v 2 ∈ V ( G ) v 1 ∼ 1 v 2  iff  π ( v 1 ) ∼ 2 π ( v 2$(G,\sim)$$\sim$$G$$(G,\sim_1)$$(H,\sim_2)$$\pi : V(G) \rightarrow V(H)$$v_1,v_2 \in V(G)$ sostiene che

La mia domanda è se questo concetto è stato studiato in precedenza per trovare forme canoniche ecc. E se sì con quale nome è noto?

Il problema che descrivi è stato sicuramente preso in considerazione (ricordo di averne discusso a scuola, e all'epoca era già stato discusso molto prima di allora), anche se non posso indicare alcun riferimento particolare in letteratura. Forse perché è linearmente equivalente all'isomorfismo grafico non colorato, come segue (questo vale anche per le forme canoniche). Chiama il problema che descrivi EQ-GI.

GI è solo il caso speciale di EQ-GI in cui ogni grafico ha solo una classe di equivalenza composta da tutti i vertici.

Nella direzione opposta, per ridurre l'EQ-GI a GI, sia un grafico con relazione di equivalenza con n vertici, bordi m e classi di equivalenza c . Costruisci un grafico G ′ il cui insieme di vertici è costituito dai vertici di G , insieme ai nuovi vertici v 1 , ... , v c , uno per ogni classe di equivalenza in = G , nonché n + c + 1 nuovi vertici w 0 , ... $(G, \sim_G)$$n$$m$$c$$G'$$G$$v_1, \dotsc, v_c$$=_G$$n+c+1$ . Collegare il w i s' in un percorso w 0 - w 1 - w 2 - ⋯ - w n + c , collegare ciascun v i al w 0 , e per ogni vertice in G , collegarlo al corrispondente equivalenza classe vertice v i . Quindi G ′ ha al massimo n + 2 c + n + 1 ≤ O ( n $w_0, \dotsc, w_{n+c}$$w_i$$w_0 - w_1 - w_2 - \dotsb - w_{n+c}$$v_i$$w_0$$G$$v_i$$G'$$n + 2c + n +1 \leq O(n)$vertici e possono essere costruiti essenzialmente nello stesso limite di tempo. (Ha anche al massimo bordi - che è O ( m ) per i grafici collegati - ma è un po 'meno rilevante poiché la maggior parte degli algoritmi GI ha tempi di esecuzione che dipendono essenzialmente solo da n .)$m + n + c + (n+c+1) \leq m + 4n + 1 \leq O(m+n)$$O(m)$$n$

Aggiornamento : poiché c'era una certa confusione nei commenti, sto aggiungendo qui uno schizzo della correttezza dell'argomento sopra. Dato e ( G 2 , ∼ 2 ) , siano G ′ 1 e G ′ 2 i grafici costruiti come sopra; lascia v i , 1 denota il vertice v i dall'alto in G ′ 1 , e v i , 2 quello in G $(G_1, \sim_1)$$(G_2, \sim_2)$$G_1'$$G_2'$$v_{i,1}$$v_i$$G_1'$$v_{i,2}$ , e similmente perwi,1ewi,2. Se c'è un isomorfismoG ' 1 ≅G ' 2 , deve inviarewi,1awi,2per tuttii, dal momento che in ogni graficown+cè il vertice unico che è il punto finale di un percorso di lunghezza almenon+c+1. In particolare,w0,$G_2'$$w_{i,1}$$w_{i,2}$$G_1' \cong G_2'$$w_{i,1}$$w_{i,2}$$i$$w_{n+c}$$n+c+1$$w_{0,1}$mappa a . Poiché i vicini di w 0 che non sono w 1 sono esattamente i v i , l'isomorfismo deve mappare l'insieme { v 1 , 1 , ... , v c , 1 } sull'insieme { v 1 , 2 , ... , v c , 2 } (e in particolare sia ∼ 1 che ∼ 2 devono avere lo stesso numero, $w_{0,2}$$w_0$$w_1$$v_i$$\{v_{1,1},\dotsc,v_{c,1}\}$$\{v_{1,2},\dotsc,v_{c,2}\}$$\sim_1$$\sim_2$$c$, di classi di equivalenza). Si noti che l'isomorfismo non deve necessariamente inviare a v i , 2 per tutti i , ma è autorizzato a permutare gli indici di v finché le corrispondenti classi di equivalenza possono essere mappate tra loro. Viceversa, sulla base di questa descrizione di come possono apparire gli isomorfismi tra G ′ 1 e G ′ 2 , è facile capire se if ( G 1 , ∼ 1 ) ≅ ( G 2 , ∼ 2$v_{i,1}$$v_{i,2}$$i$$v$$G_1'$$G_2'$$(G_1, \sim_1) \cong (G_2, \sim_2)$allora questo dà un isomorfismo .$G_1' \cong G_2'$

Ho letto il tuo ultimo commento nella risposta corretta di Giosuè; se devi trasformare l'EQ-GI in GI colorato (ovvero hai problemi con i colori assegnati alle classi di equivalenza) puoi usare la seguente riduzione:

Supponiamo che i grafici di partenza siano , G 2 = ( V 2 , E 2 ) e ci siano q classi di equivalenza; allora puoi aggiungere ad ogni grafico un "permutatore", cioè un grafico completo su | V 1 | + 1 = | V 2 | + 1 nodi ( K ′ | V 1 | + 1 , K $G_1 = (V_1, E_1)$$G_2 = (V_2, E_2)$$q$$|V_1|+1=|V_2|+1$$K'_{|V_1|+1}$ ) e usaq+1colori.$K''_{|V_2|+1}$$q+1$$c_1,...,c_q,c_{q+1}$

In entrambi e , i nodi sono distinti e colorati con i nodi rimanenti sono colorati con . I nodi di sono colorati con il colore e i nodi nella stessa classe di equivalenza sono collegati al colore corrispondente in ; i nodi di sono colorati con il colore e i nodi nella stessa classe di equivalenza sono collegati al colore corrispondente in .K " q c 1 , . . . , c q c q + 1 G 1 c q + 1 K ′ G 2 q + 1 K $K'$$K''$$q$$c_1,...,c_q$$c_{q+1}$$G_1$$c_{q+1}$$K'$$G_2$$q+1$$K''$

Si noti inoltre che è possibile eliminare i colori e ottenere un'istanza GI equivalente :-)

La riduzione corrispondente all'esempio nel tuo commento