Quando il GI polinomiale implica un GI polinomiale (bordo) colorato?

Crossposted da MO .

L'isomorfismo del grafico colorato (bordo) è GI che conserva i colori (dei bordi se è colorato).

Esistono diverse riduzioni utilizzando trasformazioni / gadget di GI (GI) colorati. Per GI colorato bordo il più semplice è sostituire il bordo colorato con un gadget di conservazione IG che codifica il colore (la suddivisione del bordo abbastanza volte è il caso più semplice). Per i GI colorati di vertice, collega alcuni gadget a un vertice.

GI Supponiamo che è polinomiale per un po 'di classe grafico . $C$

Q1 Per quale GI polinomiale implica GI polinomiale (bordo) colorato? $C$

Utilizzando una riduzione con gadget potrebbe rendere i grafici non membri della . $C$

D'altra parte alcuni gadget / trasformazioni potrebbero rendere i grafici membri di un'altra classe GI polinomiale.

Esempio di riduzione colorata del bordo . $G \to G'$

Crea una cricca di . Bordi colorati in con e non bordi con . È la funzione colorante che preserva e per recuperare da basta prendere i bordi colorati . è cricca, cografo, grafico di permutazione e quasi sicuro in molte altre belle classi. Suddividendo i bordi il numero dispari di volte (distinto per rimuove i colori e rende un grafico bipartito perfetto, preservando l'isomorfismo). $V(G)$ $E(G)$ $1$ $0$ $G$ $G$ $G'$ $1$ $G'$ $0,1$ $G'$

$G'$ $E(G')$

Q2 Ci sono gadget / trasformazioni interessanti per costruzioni simili?

$G'$ $C_4,C_6$

$K_n$ ${0,1,2}$ $V(G),E(G),E(\overline{G})$ $E(G)$ $E(\overline{G})$

$K_n$

$12 , 24 , 120 , 720 , 5040 , 40320 , 362880$

$n$

$K_n$ $n > 4$ $0$ $2$ $1$ $2$ $1$ $2$

Aggiunto l'articolo su Riconoscimento dei grafici di Cayley p 86 affermazioni:

Data una classe C di grafici di Cayley e dato un grafico di bordo G di n vertici e m bordi, siamo interessati al problema di verificare se esiste un isomorfismo φ preservando i colori in modo che G sia isomorfo di φ su un grafico in C colorato dagli elementi del suo gruppo elettrogeno. In questo documento, diamo un algoritmo O (m log n) -time per verificare se G è isomorfo cromatico in un grafico di Cayley.

Questo appare vicino alla domanda, è pertinente?

graph-theory graph-isomorphism automorphism

— joro
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C'è una relazione con gli ipergrafi. Il bordo colorato (u, v, c) potrebbe essere trattato come hyperedge e c'è un ipergrafo di riduzione da rappresentare graficamente.

— joro,

Risposte:

D2: un bell'esempio è il gadget di etichettatura del grafico usato per dimostrare che:

$\leq_T^L$

Vedi Thomas Thierauf, Fabian Wagner: il problema dell'isomorfismo per i grafici planari a 3 connessioni si trova nello spazio di log non ambiguo. Teoria comput. Syst. 47 (3): 655-673 (2010)

Il "gadget di etichettatura" utilizzato conserva i vincoli di 3-connessione e planarità.

— Marzio De Biasi
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Grazie. E le altre domande?

— joro,

C

$\mathcal{C}$

Ri Q1: se trovi interessante la domanda, falla. O forse modifica questa domanda con Q1.1 attribuito a te stesso. Alcuni pensieri sorseggiando birra :). Il grafico a colori (bordo) appare banalmente per me un ipergrafo. HGI è facile come IG tramite riduzione IIRC. Alcuni casi di automorfismi limitati sono NP-completi e alcuni sono polinomiali IIRC.

— joro,

Aggiunto un documento alla domanda che potrebbe essere pertinente.

— joro,

Risposta parziale, non capire abbastanza la teoria dei gruppi, ma due articoli sembrano dare risultati parziali.

$G \to G'$

$V(G)$ $e \in E(G')$ $1$ $e \in E(G)$ $0$ $G$ $G'$ $1$

$G \cong H \iff G' \cong H'$

$G'$

Questo documento afferma:

$O(n^2 (\log n)^6 )$ $n$

La definizione esatta di "bordo colorato" non mi è chiara.

Il documento che dimostra che la IG circolante è polinomiale in una nota a piè di pagina sulle affermazioni di p.1:

Per grafico intendiamo un grafico normale, un digrafo o persino un grafico colorato di bordo

Alla domanda su MO quali sono le restrizioni per i coloranti.

— joro
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