Per un oracolo casuale R, BPP equivale all'insieme delle lingue calcolabili in P ^ R?

Bene, il titolo dice praticamente tutto. L'interessante domanda sopra è stata posta dal commentatore Jay sul mio blog (vedi qui e qui ). Immagino sia che la risposta sia sì, sia che ci sia una prova relativamente semplice, ma non sono riuscito a vederlo di persona. (Molto approssimativamente, tuttavia, si potrebbe provare a dimostrare che, se un linguaggio in non fosse in , allora dovrebbe avere un'infinita informazione reciproca algoritmica con , nel qual caso non sarebbe calcolabile. Inoltre, si noti che una direzione è banale: i linguaggi calcolabili in contengono sicuramente .) B P P R P R B P $P^R$$BPP$$R$$P^R$ $BPP$

Nota che sto non chiedendo sulla classe AlmostP , che consiste in quelle lingue che si trovano in per quasi ogni (ed è ben noto alla parità di ). In questa domanda, dobbiamo prima correzione , poi guardare l'insieme delle lingue computabili in . D'altra parte, si potrebbe provare a dimostrare che, se una lingua in è calcolabile, anche per un oracolo casuale fisso , allora quella lingua deve essere in . R B P P R P R P $P^R$$R$$BPP$$R$$P^R$$P^R$A l m o s t $R$$AlmostP$

Una domanda strettamente correlata è se, con probabilità 1 su un oracolo casuale , abbiamo$R$

$AM = NP^R \cap Computable.$

In tal caso, otteniamo la seguente conseguenza interessante: se , quindi con probabilità 1 su un oracolo casuale , le uniche lingue che testimoniano la separazione dell'oracolo sono linguaggi non calcolabili.R P R ≠ N P $P=NP$$R$$P^R \ne NP^R$

Sì.

Innanzitutto, dato che mi ci è voluto un minuto per capirlo da solo, permettimi di formalizzare la differenza tra la tua domanda e ; è l'ordine dei quantificatori. A l m o s t P : = { L : P r R ( L ∈ P R ) = 1 } e il risultato a cui alludi è ∀ $\mathsf{AlmostP}$$\mathsf{AlmostP} := \{L : Pr_R(L \in \mathsf{P}^R) = 1\}$ . Se ho capito bene, mi stai chiedendo se P r R ( ∀ $\forall L\, L \in \mathsf{BPP} \iff Pr_R(L \in \mathsf{P}^R) = 1$ .$Pr_R(\forall L\, L \in \mathsf{P}^R \cap \mathsf{COMP} \iff L \in \mathsf{BPP}) = Pr_R(\mathsf{P}^R \cap \mathsf{COMP} = \mathsf{BPP}) = 1$

Ritenere

.$p := 1-Pr_R(\mathsf{P}^R\cap \mathsf{COMP} = \mathsf{BPP}) = Pr_R(\exists L \in \mathsf{P}^R \cap \mathsf{COMP} \backslash \mathsf{BPP})$

Dal limite dell'unione, la è limitata da ∑ L ∈ C O M P P r R ( L ∈ P R ∖ B P P ) . (Si noti che quest'ultima somma è numerabile.) Ora, secondo la legge 0-1 - che si applica poiché tutte le dichiarazioni pertinenti non cambiano se cambiamo R in modo molto significativo - ogni singola probabilità in questa somma è 0 o 1. Se il la risposta alla tua domanda è no, quindi p = 1 , quindi ci deve essere qualche L ∈ C O M P tale che$p$$\sum_{L \in \mathsf{COMP}} Pr_R(L \in \mathsf{P}^R \backslash \mathsf{BPP})$$R$$p=1$$L \in \mathsf{COMP}$ . Ma questo contraddice il fatto che A l m o s t P = B P P .$Pr_R(L \in \mathsf{P}^R \backslash \mathsf{BPP}) = 1$$\mathsf{AlmostP} = \mathsf{BPP}$

Aggiornamento ott 10, 2014 : Come indicato nel commento di Emil Jeřábek, lo stesso discorso vale per vs. N P R , dato che anche che A l m o s t N P = A M .$\mathsf{AM}$$\mathsf{NP}^R$$\mathsf{AlmostNP} = \mathsf{AM}$

Sottolinea inoltre che non abbiamo usato nulla di diverso da quello che è una classe numerabile che contiene B P P (resp., A M ). Quindi la "conclusione interessante" nel QO si applica in realtà a qualsiasi classe numerabile di lingue C che contiene A M : se P = N P , le "uniche" lingue che testimoniano la separazione dell'oracolo P R ≠ N P R sono al di fuori di $\mathsf{COMP}$$\mathsf{BPP}$$\mathsf{AM}$$\mathcal{C}$$\mathsf{AM}$$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{P}^R \neq \mathsf{NP}^R$$\mathcal{C}$. Ma quest'ultima affermazione mi sembra in qualche modo fuorviante (mi sembra che, per ogni , potremmo considerare C = A M ∪ { L 0 } , e quindi "mostrare" che nessun L 0 realizza N P R ≠ P R , in contraddizione con il noto teorema). Piuttosto, scrivendolo simbolicamente, abbiamo mostrato:$L_0$$\mathcal{C} = \mathsf{AM} \cup \{L_0\}$ $L_0$$\mathsf{NP}^R \neq \mathsf{P}^R$

Se , allora ∀ numerabile  C ⊇ A $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$ .$\forall \text{countable } \mathcal{C} \supseteq \mathsf{AM}\, Pr_R(\mathsf{NP}^R \neq \mathsf{P}^R \text{ and } \mathsf{NP}^R \cap \mathcal{C} = \mathsf{P}^R \cap \mathcal{C}) = 1$

Si noti che, soprattutto, probabilità 1 non è la stessa cosa tutto , e che completa misura insieme di R soddisfare argomento per P r R può dipendere C . Quindi, se proviamo a modificare C in C ∪ { L 0 } , rimuove al massimo un set di misure 0 di R che soddisfa questa affermazione.$R$$R$$Pr_R$$\mathcal{C}$$\mathcal{C}$$\mathcal{C} \cup \{L_0\}$$R$

Mentre l'ordine dei quantificatori tra ciò che stai chiedendo e quasi P differisce, non è difficile dimostrare che sono equivalenti. In primo luogo, per ogni L fissa, la domanda se L \ in P ^ O non dipende da alcun segmento iniziale finito di O. segue che la probabilità che L \ in P ^ R sia 0 o 1. Dal quasi - Risultato P, per ogni L calcolabile non in BPP, la risposta è 0, mentre se L \ in BPP, la probabilità è 1. Dato che ci sono numerabili molti L calcolabili, possiamo fare un limite di unione; un'unione numerabile di probabilità 0 insiemi ha probabilità 0. Pertanto, la probabilità che esista una L calcolabile che non è in BPP ma è in P ^ R è 0, così come la probabilità che esista una lingua in BPP non in P ^ R,