Ordinamento di confronto randomizzato ottimale

Quindi conosciamo tutti il limite inferiore dell'albero di confronto di sul numero peggiore di confronti effettuati da un algoritmo di ordinamento del confronto (deterministico). Non si applica all'ordinamento di confronto randomizzato (se misuriamo i confronti previsti per l'input del caso peggiore). Ad esempio, per , il limite inferiore deterministico è di cinque confronti, ma un algoritmo randomizzato (che consente in modo casuale l'input e quindi applica l'ordinamento di tipo merge) fa meglio, avendo $\lceil\log_2 n!\rceil$ $n=4$ confronti in previsione per tutti gli input. $4\frac{2}{3}$

Il legato senza i massimali si applica ancora nel caso randomizzato, da un argomento teorico dell'informazione, e può essere leggermente stretto a $\log_2 n!$

k + \frac{2 (n! - 2^{k})}{n!}, where k = ⌊ \log_{2} n! ⌋ .

$k+\frac{2(n!-2^k)}{n!} \text{, where } k=\lfloor\log_2 n!\rfloor.$ Ciò segue perché esiste un algoritmo ottimale che consente in modo casuale l'input e quindi applica un albero decisionale (deterministico) e l'albero decisionale migliore (se esiste) è quello in cui tutte le foglie sono su due livelli consecutivi.

Cosa succede se si sa qualcosa sui limiti superiori di questo problema? Per tutti , il numero randomizzato di confronti (in attesa, per l'input nel caso peggiore, per il miglior algoritmo possibile) è sempre strettamente migliore del miglior algoritmo deterministico (essenzialmente, perché Non è mai una potenza di due) . Ma quanto meglio? $n>2$ $n!$

ds.algorithms reference-request sorting

— David Eppstein
fonte

l g (n!) + o (n)

$\mathrm{lg}(n!)+o(n)$

Poiché la tua domanda è: "Cosa si sa?" Ecco qualcosa:

http://arxiv.org/abs/1307.3033

$\log n! +cn$ $c$

— Pat Morin
fonte

n \log n - 1.415 n

$n\log n-1.415n$

n \log n - 1.399 n

$n\log n-1.399n$

Non sono un esperto, l'unica ragione che conosco di tutto ciò è John Iacono. Penso, tuttavia, che abbia a che fare con le fluttuazioni basate su quanto n è vicino (4/3 volte) a una potenza di 2. Se guardi l'analisi qui, link.springer.com/content/pdf /10.1007%2FBF01934989.pdf , il limite -1.415n sembra essere valido solo quando n = floor ((4/3) 2 ^ k) per un numero intero k. Forse il -1.329n rilegato in Knuth è il migliore che vale per tutto n?

— Pat Morin,

Ci sono sicuramente fluttuazioni ma ho pensato (4/3) 2 ^ k era il caso peggiore ed era meglio per altri casi.

— David Eppstein,