Esempi di transizioni di fase di durezza

Supponiamo di avere un problema parametrizzato da un parametro con valore reale p che è "facile" da risolvere quando e "difficile" quando p = p 1 per alcuni valori p 0 , p 1 .$p=p_0$$p=p_1$$p_0$$p_1$

Un esempio è il conteggio delle configurazioni di spin sui grafici. Il conteggio di coloranti corretti ponderati, set indipendenti, sottografi euleriani corrisponde rispettivamente alle funzioni di partizione dei modelli hardcore, Potts e Ising, che sono facili da approssimare per "alta temperatura" e difficili per "bassa temperatura". Per MCMC semplice, la transizione di fase di durezza corrisponde a un punto in cui il tempo di miscelazione salta da polinomiale a esponenziale ( Martineli, 2006 ).

Un altro esempio è l'inferenza nei modelli probabilistici. "Semplifichiamo" il modello dato prendendo la combinazione , p con un modello "tutte le variabili sono indipendenti". Per p = 1 il problema è banale, per p = 0 è intrattabile e la soglia di durezza si trova da qualche parte nel mezzo. Per il metodo di inferenza più popolare, il problema diventa difficile quando il metodo non riesce a convergere e il punto in cui accade corrisponde alla transizione di fase (in senso fisico) di una certa distribuzione di Gibbs ( Tatikonda, 2002 ).$1-p$$p$$p=1$$p=0$

Quali sono altri esempi interessanti della "durezza" della durezza quando alcuni parametri continui vengono variati?

Motivazione: per vedere esempi di un'altra "dimensione" di durezza oltre al tipo di grafico o di tipo logico

Nell'approssimazione nel caso peggiore standard, ci sono molte soglie precise al variare del fattore di approssimazione .

Ad esempio, per 3LIN, soddisfacendo altrettante equazioni lineari booleane su 3 variabili ciascuna, esiste un semplice algoritmo di approssimazione di assegnazione casuale per approssimazione 1/2, ma qualsiasi approssimazione migliore di qualche t = 1/2 + o (1) è già tanto duro quanto preciso SAT (congettato per richiedere tempo esponenziale).

Non sono esattamente sicuro se questo è il tipo di problema che stavi cercando, ma la transizione di fase dei problemi NP-Complete è (ormai) un fenomeno ben noto. Vedi gli articoli di Brian Hayes "Non riesco a ottenere nessuna soddisfazione" sulla transizione di fase 3-SAT e "Il problema più semplice" sulla transizione di fase della partizione numerica, per alcuni articoli popolari sull'argomento.

Selman e Kirkpatrick furono i primi a dimostrare numericamente che la transizione di fase per 3-SAT avveniva quando il rapporto tra clausole e variabili era intorno a 4.3.

Gent e Walsh furono i primi a dimostrare numericamente che la transizione di fase per il problema della partizione numerica avveniva quando il rapporto tra i bit e la lunghezza della lista era di circa 1. In seguito ciò fu dimostrato analiticamente da Borgs, Chayes e Pittel .

Il commesso viaggiatore, Graph Coloring, Hamiltonian Cycle, tra gli altri, sembrano avere transizioni di fase per un'adeguata parametrizzazione della creazione di istanze problematiche. Penso che sia sicuro affermare che è opinione comune che tutti i problemi NP-Complete mostrino una transizione di fase per un'adeguata parametrizzazione.

Associato a (alcuni) modelli di rumore per il calcolo quantistico è un valore di soglia per il livello di rumore, al di sopra del quale le porte rumorose possono essere simulate dalle porte di Clifford, in modo tale che i processi di calcolo quantistico diventino efficacemente simulabili. Per cominciare, vedi Plenio e Virmani, Limiti superiori sulle soglie di tolleranza agli errori dei computer quantistici basati su Cli rumorosi (arXiv: 0810.4340v1).

Modelli risolvibili come questo ci informano di un problema pratico onnipresente: per un determinato sistema quantistico fisico a contatto con un serbatoio termico (possibilmente a temperatura zero), sono i livelli di rumore associati a quel serbatoio termico al di sotto o al di sopra della soglia per un'efficace simulazione con la classica risorse? Se quest'ultimo, quali algoritmi di simulazione sono ottimali?

$k$$k$$k$

$f(k)$$k$$f(k)$$2^k$$k$$1 \le f(k) < 2^k$

$k$$n$$k$$f(k)/2^k$

$f(k)$$f(k)+1$

• Jan Kratochvíl, Petr Savický e Zsolt Tuza, un'altra occasione in cui le variabili fanno passare la soddisfazione da Trivial a NP-Complete , SIAM J. Comput. 22 (1) 203–210, 1993. doi: 10.1137 / 0222015

$f(k)$$f(k) = \Theta(2^k/k)$

• Heidi Gebauer, Disproof della congettura di quartiere con implicazioni per SAT , Combinatorica 32 (5) 573–587, 2012. doi: 10.1007 / s00493-012-2679-y (prestampa)
• Heidi Gebauer, Tibor Szabó, Gábor Tardos, Il lemma locale è stretto per SAT , SODA 2011.