Rappresenta la funzione booleana da un polinomio

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Supponiamo di avere una funzione booleana da . È chiaro che un vero polinomio multivariato tale che su può essere multilineare. Quali sono alcune classi interessanti di funzioni booleane per le quali il grado minimo di $f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$ $p(x)$ $f(x)=p(x)$ $x\in\{0,1\}^n$ $p(x)$ è conosciuto? Abbiamo esempi concreti?

boolean-functions

— T ....
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Correlati: cstheory.stackexchange.com/questions/25291/…

— Andrej Bauer,

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Se non si ha familiarità con esso, è strettamente correlato il lavoro sul "grado approssimativo", che chiede, qual è il grado minimo di un polinomio che "si avvicina"

? Non ne so abbastanza per fornire riferimenti specifici, ma altri lo farebbero.

f

$f$

— usul,

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Qualsiasi funzione che abbia una correlazione diversa da zero con la parità ha grado . Cioè, se allora l'espansione multilineare unica di contiene il monomiale . Infatti, poiché $n$

\sum_{x \in {0, 1}^{n}} (- 1)^{\sum_{i} x_{i}} f (x) \neq 0

$\sum_{x \in \{0,1\}^n} (-1)^{\sum_i x_i}f(x) \neq 0$

f

$f$

x_{1} \dots x_{n}

$x_1\cdots x_n$

, l'espansione di Fourier di

(espressa in termini di prodotti di

(- 1)^{x_{i}} = \frac{1 - x_{i}}{2}

$(-1)^{x_i} = \frac{1-x_i}{2}$

f

$f$

) conterrà il termine

\frac{1 - x_{i}}{2}

$\frac{1-x_i}{2}$

e il corrispondente monomio

non appare in nessun altro termine.

\prod_{i} \frac{1 - x_{i}}{2}

$\prod_i \frac{1-x_i}{2}$

\prod_{i} x_{i}

$\prod_i x_i$

Nisan e Szegedy hanno dimostrato che le funzioni di grado dipendono al massimo da variabili . Per possiamo essere più precisi: la funzione deve dipendere al massimo da una coordinata. $d$ $d2^d$ $d = 1$

— Yuval Filmus
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Questo è un punto utile. Qual è un buon riferimento per questo argomento?

— T ....

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Puoi dare un'occhiata al recente libro di Ryan O'Donnell, Analisi delle funzioni booleane.

— Yuval Filmus,

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Le classi di funzioni booleane con una presentazione multilinea unica contengono

Funzioni pseudo-booleane sui reali (Teorema 1.34 [1])
Funzione booleana sul cubo unità $[0,1]^n$

sfondo

"Ogni funzione booleana può essere rappresentata da una forma normale disgiuntiva e da una forma normale congiunturale." (Teorema 1.4 (p.16 [1])

$\vee (\wedge {x} \wedge \bar{x} )$ $\vee (\prod x \prod (1-x))$ $\sum c \prod x$ $F$ $\mathcal B^n$ $\mathcal P(N)$ $\oplus$ $f(x_1,\ldots,x_n)=\oplus_{A\in\mathcal P(N)} c(A)\prod_{i\in A} x_i$

e le loro applicazioni contengono

$[0,1]^n$
$[0,1]^n$
(circuiti) Complessità del calcolo polinomiale multi-lineare Funzione booleana
(analisi di Fourier) Limiti inferiori per i polinomi che calcolano le funzioni booleane

Riferimenti

[1] Teoria delle funzioni booleane, algoritmi e applicazioni (Yves Crama, Peter L. Hammer, 2011)

— HHH
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Sì, ovviamente. Ora, come risponde alla domanda?

— Emil Jeřábek,