Qual è il minimo su tutte le distribuzioni di vettori unitari della varianza del prodotto punto dei vettori?

$n$$x_1,\ldots, x_n$$k$$n > k$$\max_{i\neq j} \mathrm{Var}(x_i^T x_j)$$\mathbb{E}[x_i^Tx_j]=0$

Ho provato alcune distribuzioni e quasi tutte hanno varianza . Ad esempio, sia la distribuzione in cui ciascuna coordinata di ogni viene scelta in modo indipendente e uniforme da e la distribuzione in cui ogni è un vettore uniforme indipendente sulla sfera unitaria dimensionale con varianza .$1/k$$x_i$$\left\{-1/\sqrt{k}, 1/\sqrt{k}\right\}$$x_i$$k$$1/k$

È la varianza minima tra tutte le distribuzioni?$1/k$

Presenterò una formulazione equivalente ma più semplice del problema e mostrerò un limite inferiore di ( n / k - 1) / ( n −1). Mostro anche una connessione a un problema aperto nell'informazione quantistica. [Modifica nella revisione 3: Nelle revisioni precedenti, ho affermato che una caratterizzazione esatta dei casi in cui è raggiunto il limite inferiore mostrato di seguito è probabilmente difficile perché una domanda analoga nel caso complesso include un problema aperto relativo ai SIC-POVM in informazione quantistica. Tuttavia, questa connessione ai SIC-POVM era errata. Per i dettagli, vedere la sezione "Collegamento errato ai SIC-POVM nelle informazioni quantistiche" di seguito.]

Formulazione equivalente

Innanzitutto, come già indicato nella risposta di daniello, nota che Var ( x _i ^T x _j ) = E [( x _i ^T x _j ) ² ] - E [ x _i ^T x _j ] ² = E [( x _i ^T x _j ) ² ]. Quindi, nel resto della risposta, dimentichiamo la varianza e invece minimizziamo al massimo _{i ≠ j} E [( x _i ^T x _j ) ² ].

Poi, una volta che decidiamo il nostro obiettivo è di ridurre al minimo massimo _{i ≠ j} E [( x _i ^T x _j ) ² ], possiamo ignorare il vincolo che E [ x _i ^T x _j ] = 0. Questo perché se abbiamo casuale unità vettori x ₁ ,…, x _n , quindi possiamo negare ognuna di esse in modo indipendente con probabilità 1/2 per soddisfare E [ x _i ^T x _j ] = 0 senza modificare il valore della funzione obiettivo max _{i ≠ j} E [( x _i ^T x _j) ² ].

Inoltre, cambiando la funzione obiettivo da max _{i ≠ j} E [( x _i ^T x _j ) ² ] a (1 / ( n ( n −1))) ∑ _{i ≠ j} E [( x _i ^T x _j ) ² ] non cambia il valore ottimale. Il secondo è al massimo il primo perché la media è al massimo il massimo. Tuttavia, possiamo sempre fare i valori di E [( x _i ^T x _j ) ² ] per diverse scelte di ( i , j ) ( i ≠j ) uguale permettendo i n vettori x ₁ ,…, x _{n in} modo casuale.

Quindi, per ogni n e k , il valore ottimale del problema in questione è uguale al minimo di (1 / ( n ( n −1))) ∑ _{i ≠ j} E [( x _i ^T x _j ) ² ] dove x ₁ ,…, x _n sono variabili casuali che prendono i vettori unitari in ℝ ^k come valori.

Tuttavia, per linearità di aspettativa, questa funzione oggettiva è uguale al valore atteso E [(1 / ( n ( n −1))) ∑ _{i ≠ j} ( x _i ^T x _j ) ² ]. Poiché il minimo è al massimo la media, non è più necessario considerare le distribuzioni di probabilità. Cioè, il valore ottimale del problema sopra è uguale al valore ottimale di quanto segue:

Scegli vettori unità x ₁ ,…, x _n ∈ ℝ ^k per ridurre a icona (1 / ( n ( n −1))) ∑ _{i ≠ j} ( x _i ^T x _j ) ² .

Limite inferiore

Usando questa formulazione equivalente, proveremo che il valore ottimale è almeno ( n / k - 1) / ( n −1).

Per 1≤ i ≤ n , sia X _i = x _i x _i ^T il proiettore di rango 1 corrispondente al vettore unità x _i . Quindi, sostiene che ( x _i ^T x _j ) ² = Tr ( X _i X _j ).

Sia Y = ∑ _i X _i . Quindi, sostiene che ∑ _{i ≠ j} Tr ( X _i X _j ) = ∑ _{i , j} Tr ( X _i X _j ) - n = Tr ( Y ² ) - n .

La disuguaglianza di Cauchy – Schwarz implica che Tr ( Y ² ) ≥ (Tr Y ) ² / k = n ² / k , e quindi ∑ _{i ≠ j} Tr ( X _i X _j ) = Tr ( Y ² ) - n ≥ n ² / k - n . Dividendo per n ( n −1), otteniamo che il valore obiettivo sia almeno ( n / k - 1) / ( n −1).

In particolare, quando n = k +1, la risposta di daniello è entro un fattore 2 dal valore ottimale.

Quando è possibile raggiungere questo limite inferiore?

Raggiungimento di questo limite inferiore ( n / k - 1) / ( n -1) è equivalente a fare Y = ( n / k ) I . Non conosco la caratterizzazione esatta quando è raggiungibile, ma esistono le seguenti condizioni sufficienti:

• Quando n = k +1, è raggiungibile considerando i vettori di unità k +1 che formano un normale k -simplex centrato sull'origine, migliorando da 2 / ( k ( k +1)) nella risposta di daniello all'1 / k ottimale ² .
• Quando n è un multiplo di k , è chiaramente raggiungibile fissando una base ortonormale di ℝ ^k e assegnando ciascuno dei vettori di base a n / k di v ₁ ,…, v _n .
• Più in generale dell'ultimo punto elenco, se è ottenibile con una certa scelta di k ed entrambi n = n ₁ e n = n ₂ , è raggiungibile anche per lo stesso k e n = n ₁ + n ₂ . In particolare, è raggiungibile se n = un k + b dove un e b sono numeri interi che soddisfano un ≥ b ≥0.

Anche se non ho controllato i dettagli, sembra che qualsiasi disegno sferico 2 offra una soluzione per raggiungere questo limite inferiore.

Connessione errata ai SIC-POVM nelle informazioni quantistiche

Nelle revisioni precedenti, ho dichiarato:

Ho il sospetto che rispondere a questa domanda sia una domanda difficile. Il motivo è che se invece consideriamo il complesso spazio vettoriale ℂ ^k , questa domanda è correlata a un problema aperto nell'informazione quantistica.

Ma questa relazione non era corretta. Spiegherò perché.

Più precisamente, considera il seguente problema:

Scegli vettori unità x ₁ ,…, x _n ∈ ℂ ^k per ridurre a icona (1 / ( n ( n −1))) ∑ _{i ≠ j} | x _i ^* x _j | ² .

Il limite inferiore sopra vale ugualmente in questa versione complessa. Considera il caso in cui n = k ² nella versione complessa. Quindi il limite inferiore è uguale a 1 / ( k +1).

Finora era corretto.

Un insieme di k ² unità vettori x ₁ ,…, x _{k ²} ∈ ℂ ^{k che} raggiunge il limite inferiore è chiamato SIC-POVM nella dimensione k ,

Questa parte non era corretta. Un SIC-POVM è un insieme di k ² unità vettori x ₁ ,…, x _n ∈ ℂ ^k per le quali | x _i ^* x _j | ² = 1 / ( k +1) per tutti i ≠ j . Si noti che qui il requisito deve valere per tutte le coppie i ≠ j , non solo per la media su tutte le coppie i ≠ j . Nella sezione "Formulazione equivalente", abbiamo mostrato l'equivalenza tra minimizzare il massimo e minimizzare la media, ma questo è stato possibile perché x ₁, ..., x _n erano variabili casuali che portavano lì vettori di unità. Qui x ₁ , ..., x _n sono solo vettori di unità, quindi non possiamo usare lo stesso trucco.

$v_1, v_2, \ldots, v_k$$\{1,2,\ldots,k+1\}$$x_i = x_j = v_1$$x_t$$t \notin \{i,j\}$$v_2, \ldots, v_k$$t \in \{1,\ldots,k+1\}$$x_i$$-x_i$$\frac{1}{2}$

$E[x_a \cdot x_b] = 0$$x_a$$x_b$$\frac{1}{2}$

$Var[x_a \cdot x_b] = E[(x_a \cdot x_b)^2]$$(x_a \cdot x_b)^2 = 1$$\{a,b\} = \{i,j\}$$\frac{1}{k+1 \choose 2}$$(x_a \cdot x_b)^2 = 0$$a$$b$

$x_i$