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Cosa succede se definiamo tale che al posto di un circuito Polytime Turing-machine / polysize, un Turing-machine spazio log o un circuito codifica il problema?${\bf PPAD}$${\bf AC^0}$

Recentemente fornire algoritmi più veloci per la soddisfazione dei circuiti per piccoli circuiti si è rivelato importante, quindi mi chiedo cosa succede alle versioni ridotte di .${\bf PPAD}$

$\def\ac{\mathrm{AC}^0}$ Sì, $\ac\mathrm{PAD}=\mathrm{PPAD}$ . (Qui e sotto, suppongo che $\ac$ sia definito come una classe uniforme. Naturalmente, con \ ununiform \ ac$\ac$ otterremmo semplicemente $\mathrm{PPAD/poly}$ .)

L'idea di base è abbastanza semplice: $\ac$ può fare un passo nel calcolo di una macchina di Turing, quindi possiamo simulare un fronte calcolabile in tempo polinomiale da una linea polinomialmente lunga di bordi calcolabili in $\ac$ . Con un'ulteriore estensione dell'idea, si potrebbero simulare i bordi calcolabili in tempo poli con un oracolo PPAD, cioè il PPAD è chiuso sotto la riducibilità di Turing; questa argomentazione è data in Buss e Johnson .

Ci sono molte definizioni equivalenti di PPAD in letteratura che differiscono in vari dettagli, quindi permettetemi di risolverne una qui per definizione. Un problema di ricerca NP è in PPAD se esiste una funzione polinomiale e tempo polinomiale , e con le seguenti proprietà. Per ogni input di lunghezza , e rappresentano un grafico diretto senza auto-loop in cui e ogni nodo ha in- laurea e laurea magistrale al massimo . La rappresentazione è tale che if$S$$p(n)$$f(x,u)$$g(x,u)$$h(x,u)$$x$$n$$f$$g$$G_x=(V_x,E_x)$$V_x=\{0,1\}^{p(n)}$$1$$(u,v)\in E_x$, quindi e ; se ha un grado superiore a , ; e se ha un grado , .$f(x,u)=v$$g(x,v)=u$$u$$0$$f(x,u)=u$$u$$0$$g(x,u)=u$

Il nodo è una sorgente (cioè ha un grado e un grado ). Se è una sorgente o un sink (in- , out- ) diverso da , allora è una soluzione a .$0^{p(n)}\in V_x$$0$$1$$u\in V_x$$1$$0$$0^{p(n)}$$h(x,u)$$S(x)$

Possiamo definire modo simile, tranne per il fatto che richiediamo che sia in .$\ac\mathrm{PAD}$$f,g,h$$\mathrm{FAC}^0$

Ignorerò nella costruzione per semplicità. (Non è difficile dimostrare che si può ritenere che sia una proiezione, quindi calcolabile.)$h$$\ac$

Quindi, considera un problema PPAD definito da e e correggi le macchine di Turing che calcolano e nel tempo . Per ogni , definiamo un grafico diretto cui vertici sono sequenze della seguente forma:$S$$f$$g$$f$$g$$q(n)$$x$$G'_x=(V'_x,E'_x)$

• $(0,u,c_1,\dots,c_k)$ , dove , e sono le prime configurazioni nel calcolo di .$u\in V_x$$0\le k\le q(n)$$c_1,\dots,c_k$$k$$f(x,u)$

• $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_k)$ , dove , , , è il calcolo completo di e sono i primi passi nel calcolo di .$u,v\in V_x$$0\le k\le q(n)$$f(x,u)=v$$c_1,\dots,c_{q(n)}$$f(x,u)$$d_1,\dots,d_k$$k$$g(x,v)$

• $(1,v,d_1,\dots,d_k)$ , dove , e sono i primi configurazioni nel calcolo di .$0^{p(n)}\ne v\in V_x$$0\le k\le q(n)$$d_1,\dots,d_k$$k$$g(x,v)$

• $(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_k)$ , dove , , , , è il calcolo di e sono i primi passi nel calcolo di .$u,v\in V_x$$v\ne0^{p(n)}$$0\le k\le q(n)$$g(x,v)=u$$d_1,\dots,d_{q(n)}$$g(x,v)$$c_1,\dots,c_k$$k$$f(x,u)$

$E'_x$ costituito dai bordi in dei seguenti tipi:$V'_x\times V'_x$

• $(0,u,c_1,\dots,c_k)\to(0,u,c_1,\dots,c_{k+1})$

• $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)})\to(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v)$

• $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_k)\to(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_{k+1})$

• $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_{q(n)})\to(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_{q(n)})$ se e (cioè, , oppure è un vertice isolato)$f(u)=v$$g(v)=u$$(u,v)\in E_x$$u=v$

• $(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_{k+1})\to(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_k)$

• $(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u)\to(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)})$

• $(1,v,d_1,\dots,d_{k+1})\to(1,v,d_1,\dots,d_k)$

• $(1,u)\to(0,u)$

Formalmente, sia un polinomio che limiti le lunghezze delle rappresentazioni binarie di tutte le sequenze sopra (in modo tale che possiamo estendere o accorciare le sequenze ed estrarre i loro elementi con funzioni ); mettiamo effettivamente e lasciamo isolati tutti i vertici tranne le sequenze sopra menzionate.$r(n)$$\ac$$V'_x=\{0,1\}^{r(n)}$

È facile vedere che le funzioni , rappresentano sono calcolabili: in particolare, possiamo testare in se è un calcolo parziale valido di , possiamo calcolare da e possiamo estrarre il valore di da .$f'$$g'$$G'_x$$\ac$$\ac$$c_1,\dots,c_k$$f(x,u)$$c_{k+1}$$c_k$$f(x,u)$$c_{q(n)}$

I lavandini in sono nodi della forma , dove è un lavandino in . Allo stesso modo, le fonti sono dove è una sorgente in , tranne che nello speciale case , abbiamo eliminato la riga in anticipo e la sorgente corrispondente in è solo . Possiamo supporre che la codifica delle sequenze sia effettuata in modo tale che .$G'_x$$(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},u,d_1,\dots,d_{q(n)})$$u$$G_x$$(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},v,c_1,\dots,c_{q(n)})$$v$$G_x$$v=0^{p(n)}$$G'_x$$(0,0^{p(n)})$$(0,0^{p(n)})=0^{r(n)}$

Così, e definire un problema , ed è possibile estrarre una soluzione di da una soluzione di da un -funzione che uscite il secondo componente di una sequenza.$f'$$g'$$\ac\mathrm{PAD}$$S'$$S(x)$$S'(x)$$\ac$$h'$