Le congetture di vecchia data in seguito hanno banalmente dimostrato un'implicazione

Mi piacerebbe sapere se ci sono state congetture che sono state a lungo non dimostrate nel TCS, che sono state successivamente dimostrate da un'implicazione da un altro teorema, che potrebbe essere stato più facile da dimostrare.

Erdös e Pósa hanno dimostrato che per qualsiasi numero intero e qualsiasi grafico o ha cicli disgiunti o esiste un insieme di dimensioni al massimo vertici tale che è una foresta. (nella loro prova ).G G k f ( k ) S ∈ G G ∖ S f ( k ) ∈ O ( k ⋅ log k $k$$G$$G$$k$$f(k)$$S\in G$$G\setminus S$$f(k) \in O(k \cdot \log k)$

Proprietà Erdös e Pósa di un grafico fisso noto come il seguente (non una definizione formale):$H$

La classe di grafici ammette la proprietà Erdös-Pósa se esiste una funzione tale che per ogni grafico e per qualsiasi e per qualsiasi grafico o vi sono copia isomorfa disgiunta (wrt minor o suddivisione) di in oppure esiste un insieme di vertici , tale che e non hanno una copia isomorfa di . f H ∈ C k ∈ Z G k H G S ∈ G | S | ≤ f ( k ) G ∖ S $\mathcal{C}$$f$$H\in \mathcal{C}$$k \in \mathbb{Z}$$G$$k$$H$$G$$S\in G$$|S|\le f(k)$$G\setminus S$$H$

Dopo il risultato di Erdös e Pósa per una classe di cicli che stanno ammettendo questa proprietà, era una domanda aperta trovare una classe corretta . Nel grafico il minore V ha dimostrato che ogni grafico planare ha una larghezza dell'albero delimitata o contiene una griglia grande come minore, avendo in mano il teorema della griglia hanno mostrato che la proprietà Erdös e Pósa tiene (per minore) se e solo se è una classe di grafici planari. Tuttavia, il problema è ancora aperto alla suddivisione. Ma la dimostrazione del teorema minore è in qualche modo semplice e, per quanto ne sappia, non ci sono prove senza usare il teorema della griglia.$\mathcal{C}$$\mathcal{C}$

Risultati recenti per digraph , fornisce risposte a domande aperte di lunga data nell'area simile per digraph. per esempio una domanda molto basilare era che esiste una funzione tale che per qualsiasi grafico e numeri interi , o possiamo trovare un insieme al massimo di vertici tale che ha ciclo di lunghezza almeno o ci sono cicli disgiunti di lunghezza almeno a . Questo è solo un caso speciale ma perG k , l S ⊆ V ( G ) f ( k + l ) G - S l k l G l = $f$$G$$k,l$$S\subseteq V(G)$$f(k+l)$$G-S$$l$$k$$l$$G$$l=2$era noto come congettura di Younger. Prima che la congettura di Younger fosse stata dimostrata da Reed et al. Con un approccio piuttosto complicato.

Vale la pena ricordare che ancora ci sono alcuni casi non banali nei digrafi. ad es. il Teorema 5.6 nel documento sopra è solo un'estensione positiva della congettura di Younger a una piccola classe di digrafi debolmente collegati, ma con la conoscenza e gli strumenti matematici che abbiamo non è banale (o forse non conosciamo un semplice argomento per questo ). Forse fornendo una migliore caratterizzazione per quei grafici, ci sarà un modo più semplice per dimostrarlo.

il titolo della domanda fa riferimento a "implicazioni insignificanti" ma i contenuti non specificano esattamente tali criteri, quindi questo è un po 'un messaggio misto. un elemento / esempio semifama che si avvicina al tema generale è la prova della congettura del grafico forte perfetto (allora di circa 4 anni)nel 2002 da Maria Chudnovsky, Neil Robertson, Paul Seymour e Robin Thomas. il problema della complessità algoritmica del riconoscimento dei grafici perfetti si è rivelato strettamente legato / strettamente alla meccanica di prova della congettura dei grafi perfetti forti, sebbene questo non fosse esattamente ben compreso o conosciuto prima della dimostrazione della congettura. in altre parole, c'era una congettura aperta informale secondo cui "il riconoscimento perfetto del grafico è in P" (o "bassa complessità" ecc.) risolto relativamente rapidamente basandosi sull'analisi / proprietà / meccanica del teorema del grafico perfetto forte.

Un algoritmo polinomiale per il riconoscimento di grafici perfetti Gérard Cornuéjols, Xinming Liu, Kristina Vušković 2003