problema completo con limite quasi polinomiale al numero di soluzioni

FewP è la classe di con polinomio legato al numero di soluzioni (nella dimensione di input). Non è noto alcun problema -Complete in . Sono interessato a quanto possiamo estendere questa osservazione. $NP$ $NP$ $fewP$

Esiste un naturale completo di con limite superiore quasi polinomiale legato al numero di soluzioni (testimoni)? Esiste una congettura ampiamente accettata che escluderebbe tale possibilità? $NP$

Naturale significa che il problema non è un problema inventato artificialmente per rispondere alla domanda (o simili) e che le persone sono interessate al problema in modo indipendente (come definito da Kaveh).

EDIT: La generosità sarà assegnato a tale naturale $NP$ problema -Complete o un argomento ragionevole escludere l'esistenza di tali problemi (usando congetture complessità di teoria ampiamente accettata).

Motivazione: La mia intuizione è che la completezza di $NP$ impone un limite inferiore super-polinomiale (o addirittura esponenziale) sul numero di testimoni.

cc.complexity-theory np

— Mohammad Al-Turkistany
fonte

Il problema promessa UniqueSAT è

P r o m i s e U P

$\mathsf{PromiseUP}$ (non lo stesso

U P

$\mathsf{UP}$ ), che è un sottoinsieme di

P r o m i s e F e w P

$\mathsf{PromiseFewP}$ (non lo stesso

F e w P

$\mathsf{FewP}$ ) .

— Joshua Grochow,

Un'imbottitura di SAT risponderà alla tua domanda?

— Kaveh,

Questo è il punto: non lo è; la dimensione di input è il numero di bit in input e le istanze (sparse) 3-sat hanno dimensione

m \log n

$m \log n$ . Il numero di variabili è solo un aspetto (parametro) dell'input, quindi per altri problemi (diciamo problemi con i grafici) si dovrebbe specificare in cosa si sta misurando il numero di testimoni. Ad esempio, per il taglio massimo, il grafico di input può avere

n^{2}

$n^2$ spigoli e, di nuovo, ci sono solo

2^{n}

$2^n$ testimoni (che ha dimensioni esponenziali ). Ma vogliamo davvero misurare in termini di

n

$n$ . Tuttavia non è ovvio che #vertices sia la misura giusta.

— daniello

@Kaveh Sì, quindi dovresti supporre che Mohammad abbia pensato a quello che ha senso nella sua domanda. Inoltre, come puoi vedere, la complessità dello zoo concorda con la mia definizione. In generale, in qualsiasi classe di complessità interessante la definizione non dovrebbe cambiare se si somma l'input con un polinomio.

— domotorp,

@downvoters Perché diavolo sono le persone che votano male questa domanda? Voglio dire almeno qualcuno potrebbe dare una ragione per questo ...

— domotorp

Questa è una domanda molto interessante

Innanzitutto, un'osservazione chiarificatrice. Si noti che "limite superiore sul numero di testimoni" non è una proprietà di un problema computazionale di per sé, ma di un particolare verificatore utilizzato per decidere un problema , proprio come un "limite superiore sul numero di stati" non sarebbe un proprietà di un problema ma di una macchina di Turing che lo decide. Quindi dire " Problema con limite superiore sul numero di soluzioni" non è abbastanza accurato, e se allora ogni problema ha un verificatore con un numero qualsiasi di soluzioni desiderate (incluso zero e includendo tutte le possibili stringhe) . $NP$ $NP$ $P = NP$ $NP$

Quindi dobbiamo fare una definizione, per rispondere alla tua domanda. Per , supponiamo che un problema "abbia al massimo soluzioni" se per qualche costante esiste un verificatore di tempo tale che, per ogni lunghezza di ingresso e per ogni di lunghezza , vi sono distinti $s : {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}$ $NP$ $L$ $s(n)$ $c$ $O(n^c)$ $V$ $n$ $x \in L$ $n$ di lunghezza tale cheaccetta per tutti, erifiuta tutti gli altridi lunghezza . $y_1,\ldots,y_{s(n)}$ $n^c$ $V(x,y_i)$ $i$ $V(x,y)$ $y$ $n^c$

Tutto quello che penso di poter dire al momento è questo:

Ogni problema -complete So (definito da un verificatore naturale) ha un corrispondente evidente versione conteggio Completa (con lo stesso verificatore). $NP$ $\#P$
Per qualsiasi problema -complete definito con un verificatore avente al massimo soluzioni (o anche soluzioni) la versione di conteggio corrispondente probabilmente non è -complete. $NP$ $poly(n)$ $2^{n^{o(1)}}$ $\#P$

Maggiori dettagli: Supponiamo che sia completo, con un verificatore che abbia al massimo soluzioni . Quindi la versione "decisione" di conteggio naturale di , che definiamo come $L$ $NP$ $V$ $O(n^c)$ $L$

$Count_L(x) := \text{the number of $y$ such that $V(x,y)$ accepts}$

è calcolabile in , che è una funzione polytime conquery a. Questo perché decidere se il numero di soluzioni perè al massimoè in: il testimone, se esiste, è semplicemente il numero di facendoaccettare, chesappiamoessere al massimo $FP^{NP[O(\log n)]}$ $O(\log n)$ $NP$ $x$ $k$ $NP$ $y_i$ $V$ $O(n^c)$ . Allora possiamo binari di ricerca utilizzando questo problema per calcolare il numero esatto di soluzioni a . $NP$ $L$

Pertanto, un problema Completa di questo tipo non potrebbe essere esteso a un problema Completa nel solito modo, a meno che . Sembra improbabile; l'intera gerarchia temporale polinomiale sarebbe sostanzialmente crollata in . $NP$ $\#P$ $\#P \subseteq FP^{NP[O(\log n)]}$ $P^{NP[O(\log n)]}$

Se supponi in precedenza, otterrai comunque una conseguenza improbabile. Lo dimostreresti $s(n) = 2^{n^{o(1)}}$ può essere calcolato in tempo con un oracolo. È più che sufficiente per dimostrare, ad esempio, che e successivamente $\#P$ $2^{n^{o(1)}}$ $NP$ $EXP^{NP} \neq PP$ $EXP^{NP} \not\subset P/poly$ . Non che tali separazioni siano improbabili, ma sembra improbabile che possano essere dimostrate dando un algoritmo -oracle con tempo di sottoexp per il permanente. $NP$

A proposito, non ho detto nulla di troppo penetrante qui. C'è quasi certamente un argomento come questo in letteratura.

— Ryan Williams
fonte

In effetti è una risposta perspicace.

— Mohammad Al-Turkistany,