Qual è il miglior algoritmo esatto per calcolare il nucleo di un grafico?

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Un grafico H è un nucleo se qualsiasi omomorfismo da H a se stesso è una biiezione. Un sottografo H di G è un nucleo di G se H è un nucleo e c'è un omomorfismo da G a H. http://en.wikipedia.org/wiki/Core_%28graph_theory%29

Dato un grafico G, qual è l'algoritmo esatto più noto per trovare il suo core?

ds.algorithms graph-theory graph-algorithms

— Regolarità
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A prima vista, questo problema sembra molto difficile, ma una riduzione da Isomorfismo grafico o altri problemi correlati non è evidente (per me). Ottima domanda

— Derrick Stolee,

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Calcolare il nucleo di un grafico è difficile: anche decidere se un dato grafico a 3 colori è un nucleo è co-NP-completo, vedi Hell e Nesetril . Esistono impostazioni in cui il calcolo del core può essere eseguito in modo efficiente, vedere Calcolo del core efficiente nello scambio di dati di Georg Gottlob e Alan Nash per un'impostazione del database; qui alcune ragionevoli restrizioni sui tipi di vincoli nello schema del database consentono di calcolare i core in modo efficiente.

Modifica: Oltre al lavoro di Gottlob / Nash sopra menzionato, non sono a conoscenza di altri tentativi di fornire algoritmi efficienti per il calcolo del core. I puntatori a qualsiasi algoritmo migliore della forza bruta (esatta o meno) sarebbero i benvenuti.

— András Salamon
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Andras, il documento a cui ti colleghi sembra mostrare (leggendo l'abstract) che verificare se un grafico è il suo nucleo è NP-completo. Il documento risponde anche alla domanda posta dall'OP?

— Suresh Venkat,

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@Suresh: penso che sottolineare la completezza NP sia uno dei modi migliori per rispondere a una domanda che richiede un algoritmo.

— Tsuyoshi Ito,

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destra. mi stavo solo chiedendo se c'era altro nel documento (cioè puoi verificare se il nucleo è piccolo, o se il nucleo è banale, ecc. ecc.)

— Suresh Venkat,

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Il problema di determinare se un dato grafico è un grafico principale è facilmente visibile in co-NP. In effetti, è co-NP completo.

Il problema di determinare se un dato sottografo H è un nucleo di un dato grafico G è nella classe più ampia DP ( https://complexityzoo.uwaterloo.ca/Complexity_Zoo:D#dp ), ed è di fatto completo per questa classe ( il problema archetipico completo di questa classe è costituito da coppie di formule booleane, in cui la prima è soddisfacente e la seconda non è verificabile). Il contenimento in DP è chiaro: prova che G si associa omomorficamente a H (questo è codificato come soddisfacente) e contemporaneamente che H non ha omomorfismo a se stesso che non è su (questo è codificato come insoddisfacente). La durezza DP non è banale ed è dimostrata nel documento:

Fagin, Ronald, Phokion G. Kolaitis e Lucian Popa. "Scambio di dati: arrivare al nocciolo". ACM Transactions on Database Systems (TODS) 30.1 (2005): 174-210.

— Szymon Toruńczyk
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L'articolo è su dx.doi.org/10.1145/1061318.1061323

— András Salamon,