Le lingue regolari sono chiuse in aggiunta?

In particolare ciò che intendo per aggiunta è, definiamo di essere l'alfabeto . Attribuite linguaggi regolari e sotto qualche alfabeto , sguardo . $\Sigma_i$ $\{0, 1, 2, ..., i\}$ $A$ $B$ $\Sigma_i$ $A\times B$

Per ogni coppia ordinata , definire la "somma" di questo coppia ordinata come , dove e sono numeri nella base i. Gli 0 iniziali vengono ignorati, quindi è davanti a ogni stringa accettata. Ciò implica che è definito come 0. $(a, b) \in A\times B$ $a+b$ $a$ $b$ $0^*$ $\epsilon$

La lingua è l'insieme di stringhe che rappresentano tutte queste possibili somme. $A+B$

Finora so:

Questo è vero in unario ( ). $\Sigma_1$
Questo è vero per qualsiasi lingua normale finita e , perché qualsiasi lingua finita è regolare e è finita. $A$ $B$ $A+B$
La lingua = s s è un multiplo di n nella base b sotto è regolare per qualsiasi . Ciò significa che è possibile aggiungere anche qualsiasi lingua del modulo , come , che è anche regolare. Tuttavia ci sono lingue come = s s inizia e termina con 1} che non soddisfa questi criteri, quindi questo non descrive tutte le lingue normali. $C_n$ $\{$ $|$ $\}$ $\Sigma_b$ $b >= 1$ $C_n$ $C_i+C_j=C_{i + j}$ $D$ $\{$ $|$

automata-theory

— Phylliida
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Non è vero che se A è regolare nella base 2, è anche regolare nella base 3, considera, ad esempio, i poteri di 2.

— domotorp

Capisco, hai ragione. Ho modificato la domanda di conseguenza. Stavo cercando di dimostrarlo, e sembrava vero, e poi ho capito male cosa fosse un omomorfismo e ho pensato che fosse vero. Ma non è, mi dispiace per quello. Se una lingua è regolare in base b ^ a per alcuni a> 1, è comunque regolare in qualsiasi altra base b ^ (ac) per ogni 1 <= c <a. (ad esempio, se una lingua è regolare nella base 8, è anche regolare nella base 4 e 2, semplicemente simulando la base-8 dfa).

— Phylliida,

"Ciò implica che ϵ è definito come 0". Non capisco cosa significhi. Se 0 e ϵ sono uguali, è possibile rimuovere tutti gli 0 e l'interpretazione numerica non funziona più.

— babou

Il punto è semplicemente che se una stringa vuota ϵ si trova in una coppia ordinata, aggiunge 0 all'altra stringa. Inoltre, per qualsiasi stringa fornita con 0 iniziali possono essere rimossi. Ciò significa che 000101 è uguale a 101, ad esempio. Questo è quello che volevo dire, se un ε si presenta in una stringa di per sé , di quello che è equivalente in valore rispetto ad una somma come 0 o 00, o 000 da soli . Se quelle stringhe si trovano all'interno di un'altra stringa, tutte le scommesse sono disattivate e questa sostituzione non è più valida.

— Phylliida,

Risposte:

Sì.

$\Sigma_i^3$ $A'$ $A$ $B'$ $B$ $C$ $A'$ $B'$ $A$ $B$ $C$ utilizza il fatto che è possibile effettuare l'aggiunta scansionando da destra a sinistra mantenendo solo una singola cifra di carry as state.

$A'\cap B'\cap C$ $A$ $B$

— David Eppstein
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È davvero fantastico. Non mi ero reso conto che potresti usare quelle pile in quel modo. Grazie!

— Phylliida,

È vero che questo è un po 'incerto perché in questo caso contiene solo somme di stringhe della stessa dimensione, tuttavia, poiché possiamo "simulare" somme di stringhe di dimensioni diverse aggiungendo zero a sinistra ed è semplice modificare un dfa in un altro dfa che riconosce 0 * di fronte a tutte le stringhe accettanti (una volta costruita la somma dfa per riconoscere C con omomorfismo).

— Phylliida,

Suppongo che la chiave più grande sia che A e B debbano essere "tecnicamente modificati" allo stesso modo per essere 0 * A e 0 * B, e una volta che lo facciamo è sufficiente, per ogni coppia di aeb, trovare il somma di 0 * a + 0 * b st entrambi i valori hanno abbastanza 0 iniziali per corrispondere alle dimensioni, quindi il risultato può essere rimosso di 0 se necessario poiché C viene modificato allo stesso modo. Era implicito o c'è un modo più semplice di vedere quello che mi manca?

— Phylliida,

Sì, ci sono alcuni aspetti tecnici relativi all'imbottitura, ma non cambiano davvero le idee di base, quindi le ho omesse.

— David Eppstein,

Fantastico, ha senso.

— Phylliida,

$A$ $B$ $M_A$ $M_B$ $a$ $b$ $M_A$ $M_B$ $M_A$ $M_B$

— domotorp
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