La complessità di Kolmogorov è una funzione suriettiva?

Risolviamo una codifica delle macchine di Turing e di una macchina di Turing universale, U, che sull'ingresso (T, x) produce qualunque uscita T sull'ingresso x (possibilmente entrambe funzionano per sempre). Definire la complessità di Kolmogorov di x, K (x), come la lunghezza del programma più breve, p, tale che U (p) = x.

Esiste una N tale che per tutte n> N esiste una x con K (x) = n?

Osservazione. Se definiamo le macchine di Turing universali in modo diverso, la risposta può essere negativa. Ad esempio, considera una U che sull'ingresso (T, x) simula T su x se la lunghezza di (T, x) è divisibile per 100, e altrimenti non fa nulla. Si può modificare questo esempio in diversi modi per ottenere controesempi per diverse definizioni di macchine di Turing universali.

— domotorp
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Lontano da quello che stai chiedendo, ma penso che non è difficile dimostrare che l'immagine di

ha una densità lineare positiva indipendentemente

. Ciò implica ad esempio che

è infinitamente spesso composito.

K

$K$

U

$U$

K (x)

$K(x)$

— Dan Brumleve,

Solo un commento esteso senza intuizioni profonde: forse puoi imbrogliare la codifica di una macchina di Turing e costruire una codifica artificiale che porta a una complessità surrogativa di Kolmogorov:

rappresenta la macchina di Turing che emette (1 stato TM); $0$ $0$
rappresenta la macchina di Turing che genera (il numero rappresentato dalla stringa binaria più uno); è semplicemente una versione "zippata" implicita di una TM decidibile che genera ; $0p$ $p+1$ $p$ $p+1$
rappresenta la -esima macchina di Turing in un elenco standard (l'enumerazione può saltare i TM già inclusi con e ). $1p$ $p+1$ $0$ $0p$

La TM universale corrispondente sull'ingresso controlla qual è il valore di , se è allora genera semplicemente , altrimenti simula TM ( quando è la stringa vuota); si noti che incorpora gli input. $bx$ $b$ $0$ $x+1$ $M_{x+1}$ $M_0$ $x$ $M_{x+1}$

Per tutte le stringhe , ; e per tutti ci sono stringhe di lunghezza ma ci sono solo programmi di lunghezza che possono essere rappresentati usando la codifica ; e solo programmi di lunghezza che possono essere rappresentati usando $x$ $1 \leq K(x) \leq |x|+1$ $n \geq 1$ $2^{n}$ $n$ $2^{n-1}-1$ $< n$ $1p$ $2^{n}-1$ $n$ $1p$ codifica; quindi almeno una stringa di lunghezza non può essere rappresentata con un programma di lunghezza ; ma può sicuramente essere rappresentato con il programma di lunghezza (non ci preoccupiamo se esiste anche un programma della stessa lunghezza che lo genera). $x'$ $n$ $1p$ $\leq n$ $0x'$ $n+1$ $1p$ $n+1$

$n > 1$ $x', |x'|=n$ $K(x') = n+1$

— Marzio De Biasi
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