Permutazione unidirezionale finita con dominio infinito

Sia una permutazione. Nota che mentre agisce su un dominio infinito, la sua descrizione potrebbe essere finita. Per descrizione , intendo un programma che descrive la funzionalità di . (Come nella complessità di Kolmogorov.) Vedi le spiegazioni di seguito. π $\pi \colon \{0,1\}^* \to \{0,1\}^*$$\pi$$\pi$

Ad esempio, la funzione NOT è una di queste permutazioni:

funzione NOT (x)
    Lascia y = x
    Per i = 1 a | x |
        Capovolgi il bit di y
    ritorna y

$\pi_k(\cdot)$ , definito di seguito, è un altro caso:

funzione pi_k (x)
    ritorna x + k (mod 2 ^ | x |)

La mia domanda riguarda una classe speciale di permutazioni, chiamate permutazioni unidirezionali . Informalmente parlando, si tratta di permutazioni che sono facili da calcolare, ma difficili da invertire (per una macchina . La semplice esistenza di permutazioni unidirezionali è un problema aperto di vecchia data nella crittografia e nella teoria della complessità, tuttavia nel resto, supponiamo che esistano.$\rm{BPP}$

Come esempio di una permutazione unidirezionale congetturata, si può considerare la RSA : Sia un intero di Blum , e sia . La permutazione unidirezionale è definita da: .$n = pq$$e = 65537$$\pi_n(x) = x^e \bmod n$

Si noti che RSA è definito sul dominio finito . In effetti, per ottenere una permutazione del dominio infinita, si deve considerare una famiglia di permutazioni RSA , dove è un insieme infinito di numeri interi di Blum. Nota che è la descrizione della famiglia e, per definizione, è infinita.$\mathbb{Z}_n$$\{\pi_n\}_{n\in D}$$D$$D$

La mia domanda è (supponendo l'esistenza di permutazioni unidirezionali):

Esistono permutazioni unidirezionali a descrizione finita su un dominio infinito ?

La risposta può variare: può essere positiva, negativa o aperta (sia probabile che sia positiva o negativa ).

sfondo

La domanda è emersa quando stavo leggendo un articolo di ASIACRYPT 2009 . Lì, l'autore implicitamente (e nel contesto di alcune prove) ha ipotizzato l'esistenza di tali permutazioni unidirezionali.

Sarò felice se questo è davvero il caso, anche se non sono riuscito a trovare una prova.

L'articolo sulla costruzione di funzioni a senso unico 1-1 , di Goldreich, Levin e Nisan mostra come costruire la lunghezza preservando le funzioni 1-1 con domini infiniti e descrizione finita. La durezza dell'inversione delle funzioni si basa su ipotesi popolari, come la durezza dell'inversione di RSA o la ricerca di logaritmi discreti.

La loro costruzione è una svolta dell'idea semplice di convertire una famiglia, , di funzioni a senso unico in un'unica funzione a senso unico impostando dove è il casualità utilizzato per raccogliere l'indice ed è la casualità utilizzato per selezionare l'ingresso (in base all'indice ). f ( r , s ) = f i ( x $\{f_i\}_i$$f(r,s) = f_i(x)$i s x $r$$i$$s$$x$$i$

Il problema con l'idea sopra è che non è necessariamente 1-1. Modificano questo problema modificando leggermente e sostenendo che, in determinate condizioni sulla famiglia , la nuova costruzione è effettivamente 1-1. Quindi continuano a dimostrare che queste condizioni sono soddisfatte dalle funzioni RSA / Log-based.f ( r , s ) { f i } $f(r,s)$$f(r,s)$$\{f_i\}_i$