Impatto del programma di Grothendieck su TCS

Grothendieck è morto . Ha avuto un impatto enorme sulla matematica del 20 ° secolo continuando nel 21 ° secolo. Questa domanda è posta in qualche modo nello stile / spirito, ad esempio, dei contributi di Alan Turing all'informatica .

Quali sono le principali influenze di Grothendieck sull'informatica teorica?

La disuguaglianza di Grothendieck , fin dai suoi giorni nell'analisi funzionale, fu inizialmente provata a mettere in relazione le norme fondamentali sugli spazi dei tensori. Grothendieck definì la disuguaglianza "il teorema fondamentale della teoria metrica degli spazi dei prodotti tensoriali", e lo pubblicò in un articolo ormai famoso nel 1958, in francese, in una rivista brasiliana a tiratura limitata. Il documento è stato in gran parte ignorato per 15 anni, fino a quando non è stato riscoperto da Lindenstrauss e Pelczynski (dopo che Grothendieck aveva lasciato l'analisi funzionale). Hanno dato molte riformulazioni dei principali risultati del documento, lo hanno collegato alla ricerca sugli operatori assolutamente sommatori e alle norme di fattorizzazione e hanno osservato che Grothendieck aveva risolto problemi "aperti" che erano stati sollevati dopoil documento è stato pubblicato. Pisier fornisce un resoconto molto dettagliato della disuguaglianza, delle sue varianti e della sua enorme influenza sull'analisi funzionale nel suo sondaggio .

La disuguaglianza di Grothendieck si esprime in modo molto naturale nel linguaggio degli algoritmi combinatori di ottimizzazione e approssimazione. Dice che il problema di ottimizzazione NP non duro e convesso è approssimato fino a una costante fissa dal suo rilassamento semidefinito \ max \ {\ sum_ {i, j} {a_ {ij} \ langle u_i, v_j \ rangle}: u_1, \ ldots, u_m, v_1, \ ldots, v_n \ in \ mathbb {S} ^ {n + m-1} \}, dove \ mathbb {S} ^ {n + m-1} è la sfera unitaria in \ mathbb {R} ^ {n + m}

$$\max\{x^TAy: x \in \{-1, 1\}^m, y \in \{-1, 1\}^n\}$$ $$\max\{\sum_{i,j}{a_{ij}\langle u_i, v_j\rangle}: u_1, \ldots, u_m, v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{S}^{n+m-1}\},$$ $\mathbb{S}^{n+m-1}$$\mathbb{R}^{n+m}$. Le prove della disuguaglianza danno "algoritmi di arrotondamento", e in effetti l'arrotondamento casuale degli iperpiani Goemans-Williamson fa il lavoro (ma fornisce una costante non ottimale). Tuttavia, la disuguaglianza di Grothendieck è interessante perché l'analisi dell'algoritmo di arrotondamento deve essere "globale", vale a dire esaminare tutti i termini della funzione obiettivo insieme.

Detto questo, non dovrebbe sorprendere che la disuguaglianza di Grothendiecks abbia trovato una seconda (terza? Quarta?) Vita nell'informatica. Khot e Naor sondaggio sue molteplici applicazioni e le connessioni per l'ottimizzazione combinatoria.

La storia non finisce qui. La disuguaglianza è correlata alle violazioni della disuguaglianza di Bell nella meccanica quantistica (vedi il documento di Pisier), è stata utilizzata da Linial e Shraibman nel lavoro sulla complessità della comunicazione e si è persino rivelata utile nel lavoro sull'analisi di dati privati (spina spudorata).

L'impatto di Grothendieck può essere sentito nella teoria dei tipi e nella logica. Ad esempio, il volume di oltre 700 pagine di Bart Jacobs Logica categorica e teoria dei tipi offre un trattamento uniforme di varie teorie dei tipi ( teoria del tipo , in cui ) basato sulla nozione categorica delle fibrazioni di Grothendieck (chiamata anche fibrazioni cartesiane). Allo stesso modo, la nozione di Topos , dovuta anche a Grothendieck, svolge un ruolo importante nel fornire semantica categorica alle logiche e alle teorie dei tipi, che è interessante sia per i logici che per i teorici informatici.$X$$X\subseteq \{ \text{simple},$ $\text{dependent},$ $\text{polymorphic},$ $\text{higher-order}\}$

Qualsiasi applicazione della coomologia -adica, della coomologia etale nelle formule per il conteggio dei punti per le varietà algebriche ha radici nel suo lavoro.$p$

Immagino che la visione di Mulmuley di generalizzare l'ipotesi di Riemann su campi finiti provenienti dalle congetture di Weil possa essere pensata come porre domande che originariamente avevano fruttuosi risultati dalla coomologia etale di Grothendieck.