Enumerazione dei grafici planari della larghezza degli alberi vincolati

Sto cercando riferimenti per il seguente problema: dati interi e k , enumera tutti i grafici planari non isomorfi su n vertici e larghezza dell'albero ≤ k . Sono interessato sia ai risultati teorici che a quelli pratici, ma per lo più algoritmi pratici che sono possibili per codificare ed eseguire per valori il più alti possibili di n e k (pensa k ≤ 5 e n ≤ 15 ). Se hai già una risposta, ignora le incoerenze sottostanti.$n$$k$$n$$\leq k$$n$$k$$k \leq 5$$n \leq 15$

L'approccio seguente funziona in modo ok per enumerare tutti i grafici non isomorfi su vertici e larghezza dell'albero ≤ k (ovvero quando il vincolo di planarità viene eliminato):$n$$\leq k$

(a) Enumera tutti i grafici non isomorfi su vertici e larghezza dell'albero ≤ k .$n-1$$\leq k$

(b) Per ogni vertice su n - 1 vertici e larghezza dell'albero ≤ k , ogni cricca C su ≤ k vertici in G e ogni sottoinsieme S di spigoli in C , ricava G ′ da G - S aggiungendo un nuovo vertice v adiacente a C . Aggiungi G ′ all'elenco L di grah su n vertici e larghezza dell'albero ≤ k .$G$$n-1$$\leq k$$C$$\leq k$$G$$S$$C$$G'$$G - S$$v$$C$$G'$${\cal L}$$n$$\leq k$

(c) Tagliare rimuovendo le copie dello stesso grafico.${\cal L}$

Un modo allettante per estenderlo per enumerare i grafici planari della larghezza degli alberi è semplicemente filtrare i grafici non planari ad ogni iterazione. Sfortunatamente questo non riesce a generare tutti i grafici planari della larghezza dell'albero ≤ k (ad esempio perché elenca solo grafici a 4 gradi).$\leq k$$\leq k$$4$

Naturalmente potremmo enumerare tutti i grafici su vertici e larghezza dell'albero ≤ k e solo allora filtrare quelli non planari, ma questo non riesce a sfruttare il fatto che la maggior parte dei grafici non sono planari e sembra molto non ottimale.$n$$\leq k$

C'è un bel software che genera piccoli grafici planari rispetto all'isomorfismo che potrebbero aiutare. Come vedo, uno dei problemi era generare grafici planari non isomorfi e la maggior parte di quei grafici planari (su meno di 15 vertici) sono di larghezza ridotta.

$k$$G$$G$$P$$d$$v\in P$$l$$u\in G\setminus P$$w\in P$$G$$d+l$$k$

$15$$4$$t$$t>5$

$k$$G$

$G,B$$G$$k$$B$$k$$G$$B$

$G,B$$G$$n-1$$G'$$S$$B$$v$$S$$B'$$k$$B \cup v$$G',B'$$G'$

Un limite superiore facile per quante voci è necessario memorizzare è volte il numero di grafici enumerati ma questo è un limite pessimistico. Per la maggior parte dei grafici della larghezza dell'albero k, la maggior parte dei sottoinsiemi della dimensione k non possono essere bag bag, ad esempio una griglia ha solo bag possibili. k×nn⋅3k-$n \choose k$$k \times n$$n \cdot 3^{k-1}$

Credo che questo funzionerà così come l'algoritmo per i grafici non planari poiché per ogni coppia G, B otteniamo un grafico rendendo B una cricca, la maggior parte di questi grafici sarà non isomorfa.

Ci sono diversi trucchi che si possono applicare per accelerare questo, suggerirei di esaminare: http://www.siam.org/meetings/alenex04/abstacts/HBodlaender.pdf