Per quale c è divisione per c in AC0?

Supponiamo che il nostro input sia un binario e che dobbiamo generare , dove è un numero intero costante. Questo è solo uno spostamento se è una potenza di due, ma per quanto riguarda gli altri numeri? Possiamo farlo con un circuito a profondità costante per ogni ? Che dire di ? $x$ $\lfloor x/c \rfloor$ $c$ $c$ $c$ $c=3$

ps. So che calcolare è difficile, ma questo non sembra correlato. $x\bmod c$

cc.complexity-theory circuit-complexity ac0

— domotorp
fonte

L'aggiunta e la sottrazione di numeri binari sono in $\mathsf{AC^0}$ .

Per qualsiasi numero costante $c$ , $x \bmod c$ è $\mathsf{AC^0}$ riducibile alla divisione per $c$ ( $\lfloor x/c \rfloor$ ):

x mod c = x - (\overset{c times}{\overset{⏞}{⌊ x / c ⌋ + \dots + ⌊ x / c ⌋}})

$x \bmod c = x - (\overbrace{\lfloor x/c \rfloor + \cdots + \lfloor x/c \rfloor}^{c \text{ times}})$

È noto che $x \bmod c$ è difficile per $\mathsf{AC^0}$ per qualsiasi $c$ che non sia una potenza di $2$ . Quindi $\lfloor x/c \rfloor$ è difficile per $\mathsf{AC^0}$ per qualsiasi $c$ che non sia una potenza di $2$ .

Come notato da Emil nei commenti, c'è una facile riduzione per dispari prime da (ovvero, con ) a con input binario: usiamo solo bit di input che sono multipli di e utilizziamo FLT ( ). $c$ $\mathit{MOD}_c$ $\sum_ix_i\bmod c$ $x_i\in\{0,1\}$ $x\bmod c$ $p-1$ $2^{(p-1)i} \bmod p = 1$

— Daniello
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Lo stesso argomento si applica a qualsiasi che non sia un potere di 2.

c

$c$

— Emil Jeřábek

Che non sia AC ^ 0 per altri è facile da mostrare: per esempio, possiamo supporre che sia un numero primo dispari, e quindi puoi ridurre MOD_p ad esso usando ogni th bit . Oppure puoi applicare la classificazione Barrington-Thérien: è un linguaggio regolare e il suo monoide sintattico è un gruppo non banale.

x mod c

$x\bmod c$

c

$c$

c = p

$c=p$

(p - 1)

$(p-1)$

— Emil Jeřábek,

@Emil Jerabek: Grazie, questo è stato esattamente l'aiuto di cui avevo bisogno :)

— daniello,