Esiste un gioco semplice con complessità asimmetrica?

Considera le partite combinatorie a due giocatori con informazioni complete che terminano dopo un numero polinomiale di mosse e, in modo alternato, i giocatori scelgono da un numero finito di mosse consentite. La solita domanda è: quanto sia difficile distinguere il vincitore da una determinata posizione. Un altro sarebbe, quanto sia difficile scegliere una mossa vincente da una posizione vincente. (Qui chiamo una mossa vincente, se la posizione rimane vincente dopo averla giocata.) Per differenziare, chiamerò la prima POSIZIONE-COMPLESSITÀ e la seconda SPOSTA-COMPLESSITÀ.

È facile vedere che se la MOVE-COMPLESSITÀ è in o , lo stesso vale per la POSIZIONE-COMPLESSITÀ - possiamo calcolare le mosse ottimali e controllare chi vince alla fine. (Non ho davvero pensato a cosa succede se MOVE-COMPLESSITÀ è in , probabilmente POSITION-COMPLESSITÀ è in qualcosa come .) Tuttavia, ci sono esempi fittizi quando MOVE-COMPLESSITÀ è banale e la POSIZIONE -COMPLEXITY è arbitrariamente difficile - come il gioco (non molto interessante) di controllare quale sia l'output di un algoritmo, con i giocatori che fanno i passi successivi, essendo consentita una sola mossa. Ho divagato un po ', la mia domanda principale è la seguente. $P$ $PSPACE$ $NP$ $P^{NP}$

Esiste un gioco naturale, in cui la MOVE-COMPLESSITÀ dei due giocatori è diversa?

Ad esempio, il gioco in cui il primo giocatore sceglie i valori delle variabili di un CNF (che potrebbe non avere una soluzione), mentre il secondo giocatore sta cercando di risolvere un puzzle SOKO-BAN (che potrebbe non avere una soluzione), è un tale esempio.

cc.complexity-theory np board-games pspace

— domotorp
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Mi piace molto questa domanda.

— Tayfun Pay

Non so se il gioco QBF soddisfa le tue condizioni, un giocatore è un giocatore esistenziale, un altro è un giocatore universale. Bene, molti giochi sono in forma simile. Penso che se non c'è dipendenza tra i giocatori, allora il gioco non è un gioco a due giocatori, ma se c'è una dipendenza tra loro allora (vagamente parlando) ci sono alcune interpretazioni che sono simili allo stile QBF.

— Saeed,

È un'osservazione laterale, ma la maggior parte dei giochi naturali (nel senso giocato nel mondo reale come gli scacchi, il gioco, ...) non finiscono dopo un numero polinomiale di mosse, ma piuttosto esponenziali (nel peggiore dei casi). Hai un motivo particolare per aggiungere questo vincolo, oltre a ottenere una relazione polinomiale tra MOVE-COMPLESSITÀ e POSIZIONE-COMPLESSITÀ?

— Denis,

Forse una famiglia di esempi può essere creata rilassando le condizioni di vittoria di uno dei due giocatori: ad esempio una partita a scacchi in cui il bianco vince con un scacco matto standard e il nero vince con un scacco matto o catturare la regina bianca. Un altro esempio può essere GG con nodi di colore rosso-blu e uno dei due giocatori può vincere non solo in modo standard, ma anche raccogliere una certa quantità di nodi rossi. Penserò di più a possibili formalizzazione di esempi simili.

— Marzio De Biasi,

Se il gioco non ha pareggi (e un numero ragionevolmente limitato di possibili mosse per turno), il fatto seguente implica che la risposta è "no"? Una mossa è vincente se e solo se nessuna delle risposte dell'avversario è vincente.

— usul

Risposte:

Forse un gioco abbastanza naturale è il seguente:

Il giocatore 1 è posto nel mezzo di un labirinto e deve raggiungere l'uscita per vincere.

Il giocatore 2 è nello stesso labirinto e deve raccogliere una serie di "componenti" per costruire un radiocomando che gli permetta di chiudere l'uscita (e vincere).

$n$ $n$

Per rendere il gioco più "interattivo", possiamo anche aggiungere alcune azioni extra al Giocatore 2 che possono solo causare un rallentamento polinomiale nel calcolo della prossima mossa per il Giocatore 1; per esempio consentendogli di bloccare un numero fisso di corridoi del labirinto.

— Marzio De Biasi
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$C$

Quindi basta guardare alcuni giochi naturali in cui POSIZIONE-COMPLESSITÀ è asimmetrica. Avremo sempre bisogno di una certa asimmetria tra i giocatori per creare tali situazioni, ma speriamo che sia il più naturale possibile.

$\cap$

$P_1$ $P_2$ $p(n)$ $i$ $P_i$

— Denis
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Direi che è improbabile che "finito" significhi "costante" qui.

— Kyle,

In effetti, nei cosiddetti giochi Picker-Chooser o Chooser-Picker è facile costruire esempi per i quali la migliore strategia di un giocatore è una semplice strategia di abbinamento, mentre l'altro deve risolvere un 3-SAT su qualsiasi CNF precedentemente specificato, questo è un problema NP completo.

Supponiamo che un gioco Picker-Chooser sia un gioco asimmetrico su un ipergrafo H = (V, E): Picker raccoglie due elementi non selezionati di V, quindi Chooser prende uno di questi e restituisce l'altro a Picker. Chooser vince se ottiene tutti gli elementi di una A da E. Ora, data una formula CNF F da 3-SAT, V è l'insieme dei letterali ed E realizza alcuni gadget. Tutto sommato, Picker deve sempre offrire x_i e x_i negate in tutti i passaggi (altrimenti perde immediatamente), mentre la selezione di Chooser è un input 0-1 arbitrario per qualsiasi x_i e vince soddisfacendo F.

Vedi i dettagli in: A. Csernenszky, R. Martin e A. Pluhár, On the Complexity of Chooser-Picker Positional Games. Integers 11 (2011).

oppure all'indirizzo: http://www.inf.u-szeged.hu/~pluhar/complexity_2011.pdf

— Andras Pluhar
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