Esiste un set di gate unitario finito che può realizzare esattamente tutti i QFT di ordine

Sto prendendo in considerazione idee sugli algoritmi quantistici esatti. In particolare, sto prendendo in considerazione le probabili limitazioni di , che consiste in linguaggi esattamente decifrabili da famiglie di circuiti quantici uniformi polifunzionali su un set di gate finito arbitrario.$\mathsf{EQP}$

La trasformata quantistica di Fourier (QFT), data da è una parte celebre della teoria computazionale quantistica. Nel caso di N = 2 n , esiste una ben nota decomposizione di in Hadamards,

$$F_N = {\frac{1}{\sqrt N} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1& \cdots & 1 \\ 1 & \omega & \omega^2 & \omega^3 & \cdots & \omega^{N-1} \\ 1 & \omega^2 & \omega^4 & \omega^6 & \cdots & \omega^{N-2} \\ 1 & \omega^3 & \omega^6 & \omega^9 & \cdots & \omega^{N-3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \omega^{N-1} & \omega^{N-2} & \omega^{N-3} & \cdots & \omega^{(N-1)^2} \end{bmatrix}} \quad\text{for $\omega = \mathrm e^{2\pi i/N}$},$$ $N = 2^n$C Z 2 T = d i a g ( 1 , 1 , 1 , e 2 π i / 2 $F_N$ $$\mathrm{CZ}_{2^T} = \mathrm{diag}(1,1,1,\mathrm e^{2\pi i/2^T\!})$$ per vari , che è grazie a Coppersmith. Se dovesse contenere problemi, si potrebbe sperare che uno di questi faccia uso delle QFT , nel qual caso si richiederebbe la famiglia di operazioni per scomporre in un determinato set di gate finito. Usando la decomposizione ricorsiva del QFT, ciò equivale a una decomposizione di tutte le porte in un singolo set di gate finito.E Q P ∖ P F 2 n F 2 n C Z 2 $T \geqslant 1$$\mathsf{EQP} \smallsetminus \mathsf{P}$$F_{2^n}$$F_{2^n}$$\mathrm{CZ}_{2^n}$

Ovviamente, secondo il teorema di Solovay-Kitaev, possiamo approssimare le porte o arbitrariamente bene con qualsiasi set di porte approssimativamente universale chiuso sotto le inversioni. Quello che vorrei sapere è se esiste un gate finito che può realizzare esattamente queste famiglie di operatori - o, ciò che sospetto sia più probabile, se esiste una prova che non esiste un tale gate finito.$F_{2^n}$$\mathrm{CZ}_{2^n}$

Domanda. Esiste una decomposizione di come una famiglia di circuiti uniformi polifunzionali su un set di gate finito, o una prova che ciò è impossibile?$\{ F_{2^n} \}_{n \geqslant 1}$

No, non c'è decomposizione dell'intera famiglia in un singolo gate-set finito. Ecco perché.$\{F_{2^n}\}_{n\geqslant1}$

I QFT implicano solo coefficienti sopra , la complessa chiusura algebrica dei numeri razionali. In analogia a [ Adleman + Demarrais + Huang – 1997 ], se avessimo coinvolto porte che includevano numeri trascendentali, potremmo scegliere un insieme minimo di trascendenti e descrivere i coefficienti di gate essenzialmente come funzioni razionali . Per ottenere il QFT come prodotto di tali cancelli, dobbiamo provvedere all'annullamento di tutti i componenti trascendentali (deve accadere una cosa simile per garantire che ciascuno dei cancelli sia unitario); ma allora potremmo anche sostituire tutti i trascendentali con$\overline{\mathbb Q}$$\{\tau_1, \tau_2, \ldots\}$$\overline{\mathbb Q}(\tau_1, \tau_2, \ldots)$$0$, in modo che tutti i coefficienti siano algebrici. Quindi ci limitiamo ai gate algebrici senza perdita di generalità.

I coefficienti di una porta finita impostata su possono essere tutti contenuti in un'estensione di grado finito di , che si può costruire estendendo di questi stessi coefficienti. Tuttavia, le porte hanno ovviamente coefficienti appartenenti ad estensioni di campo superiori a di grado , cioè di grado illimitato. Pertanto, la famiglia di QFT di ordine non si decompone in alcun gate-set finito.$\overline{\mathbb Q}$$\mathbb Q$$\mathbb Q$$\mathrm{CZ}_{2^n}$$\mathbb Q$$2^{n-1}$$2^n$

Come corollario, non possiamo sperare di avere alcun algoritmo in che si basa su QFT su anelli ciclici di dimensioni illimitate - si noti che lo stesso problema si verifica per qualsiasi famiglia di circuiti che potrebbe usare QFT di ordine arbitrario.$\mathsf{EQP}$