Uguaglianza delle prove decidibili?

Voglio sapere se la decidibilità dell'uguaglianza di due prove decidibili della stessa proposizione può essere dimostrata senza ulteriori assiomi nel calcolo delle costruzioni induttive.

In particolare, voglio sapere se questo è vero senza ulteriori assiomi in Coq.

\forall P : Prop, P \lor \neg P \Rightarrow (\forall p_{1} : P, \forall p_{2} : P, {p_{1} = p_{2}} \lor {p_{1} \neq p_{2}})

$\forall P: \texttt{Prop}, P \vee \neg P \Rightarrow (\forall p_1 : P, \forall p_2: P, \{p_1 = p_2\} \vee \{p_1 \neq p_2\})$

Grazie!

Modificato per correggere l'errore: modifica 2 per rendere Proppiù esplicito

coq constructive-mathematics calculus-of-constructions

— Adam Barak
fonte

Quello che hai scritto non ha senso. Se

è una proposta, allora

è una prova e non puoi formare

. Intendevi che la tua ipotesi era

invece di

, cioè "

è decidibile"?

P

$P$

p : P

$p : P$

p \lor \neg p

$p \lor \lnot p$

P \lor \neg P

$P \lor \lnot P$

p \lor \neg p

$p \lor \lnot p$

P

$P$

— Andrej Bauer,

Scusate, intendevo l'ipotesi "

è decidibile", cioè

P

$P$

P \lor \neg P

$P \vee \neg P$

— Adam Barak,

Prendi

come

e l'affermazione è falsa, poiché puoi facilmente abitare

P

$P$

N \to N

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

(N \to N) \lor \neg (N \to N)

$(\mathbb{N} \to \mathbb{N}) \vee \lnot(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$ con

e l'equivalenza della funzione è ovviamente indecidibile. Ci sono altre condizioni su

che hai in mente?

i n l (λ x . x)

$\mathsf{inl}(\lambda x.\;x)$

P

$P$

— Neel Krishnaswami,

P dovrebbe essere una proposta. (In realtà, nel mio sviluppo, utilizzo già l'estensione funzionale, quindi l'affermazione può ancora valere per me, ma per ora ignoriamo l'estensione funzionale / proposizionale).

— Adam Barak,

L'estensione della funzione non implica che l'equivalenza della funzione sia decidibile ... E la risposta di Neel risolve il caso generale: se P è un tipo infinito (abitato) (che include alcuni tipi di proposizioni se non sono inclusi assiomi extra), allora l'implicazione fallisce di attesa per

P \to P

$P\rightarrow P$

— cody,

Come sottolinea Neel se lavori nell'ambito delle "proposizioni sono tipi", puoi facilmente trovare un tipo la cui uguaglianza non può essere mostrata decidibile (ma è ovviamente coerente supporre che tutti i tipi abbiano uguaglianza decidibile), come . $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

Se comprendiamo la "proposizione" come un tipo di tipo più ristretto, allora la risposta dipende da cosa intendiamo esattamente. Se stai lavorando nel calcolo delle costruzioni con un Proptipo, non puoi ancora dimostrare che le proposizioni decidibili hanno uguaglianza decidibile. Questo perché è coerente nel calcolo delle costruzioni essere equiparato Propa un universo di tipo rilevante per la prova, quindi per quanto ne sai Proppotrebbe contenere qualcosa come . Ciò implica anche che non puoi provare il tuo teorema per la nozione di Coq. $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ Prop

Ma in ogni caso, la risposta migliore viene dalla teoria dei tipi di omotopia. C'è una proposizione di tipo $P$ che soddisfa Cioè, una proposizione ha al massimo un elemento (come dovrebbe se fosse da intendere come un valore di verità irrilevante). In questo caso la risposta è ovviamente positiva perché la definizione di proposizione implica immediatamente che la sua uguaglianza è decidibile.

\forall x, y : P . x = y .

$\forall x, y : P \,.\, x = y.$

Sono curioso di sapere cosa intendi per "proposizione".

— Andrej Bauer
fonte

Come vorresti avere

dentro ? Grazie!

N \to N

$\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ Prop

— Adam Barak,

Non c'è nulla nel calcolo della costruzione che impedisca

, vero?

P r o p = T y p e

$\mathtt{Prop} = \mathtt{Type}$

— Andrej Bauer,

La confusione qui riguarda ciò che si intende per "sistema coq". Se è "il calcolo delle costruzioni", allora

. Se il più preciso "Calcolo delle costruzioni induttive con 1 universo imprevedibile", allora

senso senza annotazioni a livello di universo. Per quanto ne so,

è un assioma coerente (sebbene incoerente con EM per ragioni sottili).

P r o p = S e t = T y p e

$\mathtt{Prop=Set=Type}$

T y p e

$\mathtt{Type}$

T y p e_{1} = P r o p

$\mathtt{Type_1=Prop}$

— cody,

Certo, dobbiamo puntare un indice su

. Il punto da comprendere per @AdamBarak è questo: poiché

non porta a nessuna contraddizione in Coq, possiamo mostrare che qualcosa non può essere fatto in Coq mostrando che porterebbe a una contraddizione se abbiamo anche avuto

T y p e

$\mathtt{Type}$

P r o p = {T y p e}_{1}

$\mathtt{Prop} = \mathtt{Type}_1$

P r o p = {T y p e}_{1}

$\mathtt{Prop} = \mathtt{Type}_1$

— Andrej Bauer,

Ancora non del tutto giusto, perché in Coq non possiamo dimostrare che l'equivalenza funzionale è indecidibile. L'affermazione "l'uguaglianza su

è decidibile" è ciò che Martin Escardo chiama un tabù costruttivo: non può essere né provato né smentito in Coq. Quindi l'argomento corretto è: se

allora

è una proposizione, e l'affermazione "l'uguaglianza su

è decidibile" non è provabile. (Mentre hai detto: e l'affermazione "l'uguaglianza su

è decidibile" è falsa).

N \to N

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

P r o p = {T y p e}_{1}

$\mathtt{Prop} = \mathtt{Type}_1$

N \to N

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

N \to N

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

N \to N

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

— Andrej Bauer