Limite inferiore alla stima

Vorrei sapere (correlato a questa altra domanda ) se erano noti limiti inferiori per il seguente problema di test: si ottiene l'accesso alla query a una sequenza di numeri non negativi e , con la promessa che o . $a_n \geq \dots\geq a_1$ $\varepsilon \in (0,1)$ $\sum_{k=1}^n a_k = 1$ $\sum_{k=1}^n a_k \leq 1-\varepsilon$

Quante query (ricerche) sono sufficienti e necessarie per un algoritmo (adattivo) randomizzato per distinguere tra i due casi, con probabilità almeno ? $2/3$

Ho trovato un post precedente che fornisce un limite superiore logaritmico (in ) per il relativo problema di approssimazione della somma, e un limite inferiore approssimativamente corrispondente su quel problema per algoritmi deterministici; ma non sono riuscito a trovare un risultato per il problema specifico che sto prendendo in considerazione (in particolare, algoritmi randomizzati). $n$

Modifica: seguendo la risposta di seguito, suppongo che avrei dovuto essere più chiaro: in quanto sopra (e in particolare negli asintotici per il limite inferiore), $n$ è la quantità "principale" vista come andare all'infinito, mentre $\varepsilon$ è un (arbitrariamente piccolo ) costante.

reference-request randomized-algorithms property-testing

— Clemente C.
fonte

Immagino che intendi

\sum_{k = 1}^{n} a_{k} \leq 1 - ε

$\sum_{k=1}^n a_k \leq 1-\varepsilon$

— RB

Effettivamente - risolto.

— Clemente C.

Bene, senza l'ordine sarebbe necessaria una dipendenza da

, credo (con o senza campionamento). Un esempio "cattivo" (coppia di sequenze) sarebbe per esempio una sequenza con tutta

's essendo uguale a

n

$n$

a_{k}

$a_k$

, tranne una (arbitraria, casuale)

tale che

è o uguale a

(nella prima sequenza) e

(nel secondo). Senza

query, le due sequenze non possono essere distinte ...

\frac{1 - ε}{n - 1}

$\frac{1-\varepsilon}{n-1}$

j

$j$

a_{j}

$a_j$

ε

$\varepsilon$

0

$0$

Ω (n)

$\Omega(n)$

— Clemente C.

Suppongo che il modello di query ti permetta di scegliere la

per la quale richiedi

, giusto?

k

$k$

a_{k}

$a_k$

— Kodlu,

Sì (puoi scegliere il punto da "rivelare").

— Clemente C.

Risposte:

Ecco i limiti inferiori che posso mostrare. Immagino che per un fisso , il limite inferiore destro sia , ma naturalmente potrei sbagliarmi. $\epsilon$ $\Omega( \log n)$

Userò una sequenza decrescente (solo per comodità). Il meccanismo di base sta spezzando la sequenza in blocchi a Nel esimo blocco Ci stanno per essere elementi (cioè, ). $L$ $i$ $n_i$ $\sum_i n_i = n$

Di seguito, vogliamo che l'algoritmo abbia esito positivo con probabilità , per alcuni parametri . $\geq 1-\delta$ $\delta >0$

Primo limite inferiore: . $\displaystyle \Omega\left( \frac{1}{\epsilon} \log \frac{1}{\delta} \right)$

L' blocco ha elementi, quindi . Si imposta il valore di tutti gli elementi della esima blocco essere , dove è una variabile che è o o . Chiaramente, la somma totale di questa sequenza è $i$ $n_i = 2^{i-1}$ $L = \lg n$ $i$ $(1+X_i)/(2n_iL)$ $X_i$ $0$ $1$ Immagina di scegliere ognicon probabilitàche siaealtrimenti. Per stimare, abbiamo bisogno di una stima affidabile di. In particolar modo, vogliamo essere in grado di distinguere la basee, diciamo,.

α = \sum_{i = 1}^{L} \frac{1 + X_{i}}{2 n_{i} L} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 L} (\sum_{i = 1}^{L} X_{i}) .

$\alpha = \sum_{i=1}^L \frac{1+X_i}{2n_i L} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2L}\left(\sum_{i=1}^L X_i \right).$

X_{i}

$X_i$

β

$\beta$

1

$1$

0

$0$

α

$\alpha$

β

$\beta$

β = 1 - 4 ϵ

$\beta = 1-4\epsilon$

β = 1

$\beta=1$

Ora, immagina di campionare di queste variabili casuali e lascia che siano le variabili campionate. Impostazioni (nota che stiamo prendendo la somma delle variabili del complemento ), abbiamo e la disuguaglianza di Chernoff ci dice che se $m$ $Z_1, \ldots, Z_m$ $Y = \sum_{i=1}^m (1-X_i)$ $\mu = E[Y] = (1-\beta) m$ , quindi , e la probabilità di fallimento è Per ridurre questa quantità di $\beta =1-4\epsilon$ $\mu = 4\epsilon m$

P [Y \leq 2 ϵ m] = P [Y \leq (1 - 1 / 2) μ] \leq \exp (- μ (1 / 2)^{2} / 2) = \exp (- ϵ m / 2) .

$P\left[ Y \leq 2\epsilon m \right] = P\left[ Y \leq (1-1/2) \mu \right] \leq \exp \left( -\mu (1/2)^2 / 2 \right) = \exp \left( -\epsilon m / 2 \right).$

, abbiamo bisogno di

δ

$\delta$

m \geq \frac{2}{ϵ} \ln \frac{1}{δ}

$\displaystyle m \geq \frac{2}{\epsilon} \ln \frac{1}{\delta}$

L'osservazione chiave è che la disuguaglianza di Chernoff è stretta (bisogna stare attenti, perché non è corretto per tutti i parametri, ma è corretto in questo caso), quindi non si può fare di meglio (fino alle costanti).

Secondo limite inferiore: . $\Omega( \log n / \log \log n)$

Impostare la esima dimensione del blocco di essere , dove è il numero di blocchi. Un elemento nel esimo blocco ha valore . Quindi la somma totale dei valori nella sequenza è . $i$ $n_i = L^i$ $L = \Theta( \log n / \log \log n)$ $i$ $\alpha_i = \Bigl(1/L\Bigr)/n_i$ $1$

Ora, potremmo decidere di scegliere un blocco arbitrario, dire il °, e impostare tutti i valori nel suo blocco su (invece di ). Ciò aumenta il contributo del ° blocco da a e aumenta la massa totale della sequenza a (quasi) . $j$ $\alpha_{j-1} = L \alpha_j$ $\alpha_j$ $j$ $1/L$ $1$ $2$

Ora, in modo informale, qualsiasi algoritmo randomizzato deve verificare il valore in ciascuno dei blocchi. Come tale, deve leggere almeno valori della sequenza. $L$

Per rendere l'argomento sopra più formale, con probabilità , indica il sequenza originale della massa come ingresso (ci riferiamo a questo come input originale). Altrimenti, selezionare casualmente il blocco con i valori aumentati (input modificato). Chiaramente, se l'algoritmo randomizzato legge meno rispetto, ad esempio, voci, ha probabilità (circa) per rilevare un ingresso modificata. Pertanto, la probabilità che questo algoritmo fallisca, se legge meno di voci è almeno $p=1/2$ $1$ $L/8$ $1/8$ $L/8$

(1 - p) (7 / 8) > 7 / 16 > 1 / 3.

$(1-p)(7/8) > 7/16 > 1/3.$

PS Penso che prestando maggiore attenzione ai parametri, il primo limite inferiore può essere migliorato a . $\Omega(1/\epsilon^2)$

— Sariel Har-Peled
fonte

Grazie per questo! Ho una piccola domanda riguardo al primo,

lb (più in particolare il possibile miglioramento quadratico). Dato che qui abbiamo il problema della promessa unilaterale, che implica che non appena l'algoritmo "vede" qualsiasi valore che fornisce l'evidenza che

, si può concludere senza dover ottenere una stima più accurata di

: non questo significa che il

è ottimale per questa costruzione, sostanzialmente come ci si aspetterebbe o tutti

's ad 1, o almeno

frazione non essere?

Ω (1 / ϵ)

$\Omega(1/\epsilon)$

β < 1

$\beta < 1$

β

$\beta$

1 / ϵ

$1/\epsilon$

X_{i}

$X_i$

ϵ

$\epsilon$

— Clemente C.

Si. Se vuoi un rally per distinguere solo tra 1 e 1-epsilon, ovviamente non puoi migliorare il limite inferiore ... Stavo pensando di provare a distinguere altre gamme ... s

— Sariel Har-Peled

Limite inferiore

$\Omega(1/\sqrt{\epsilon})$

$a_1,\dots,a_n$ $\epsilon,2\epsilon,3\epsilon,4\epsilon,\dots$ $n$ $a_1+\dots+a_n = 1$ $n \approx 1/\sqrt{2\epsilon}$

$a'_1,\dots,a'_n$ $\epsilon$ $a'_1=a_1$ $a'_2=a_2$ $a'_i = a_i - \epsilon$ $a'_1 + \dots + a'_n = 1-\epsilon$

$a_1,\dots,a_n$ $a'_1,\dots,a'_n$ $i$ $\Omega(n)$ $n \approx 1/\sqrt{2\epsilon}$ $\Omega(1/\sqrt{\epsilon})$

Limite superiore

$O(\lg(n/\epsilon) [\lg n + 1 / \epsilon^2])$

$[0,1]$

[0, 1] = [0, 0.25 ϵ / n] \cup (0.25 ϵ / n, 0.5 ϵ / n] \cup (0.5 ϵ / n, ϵ / n] \cup (ϵ / n, 2 ϵ / n] \cup (2 ϵ / n, 4 ϵ / n] \cup \dots \cup (\dots, 1] .

$[0,1] = [0,0.25\epsilon/n] \cup (0.25\epsilon/n,0.5\epsilon/n] \cup (0.5\epsilon/n,\epsilon/n] \cup (\epsilon/n,2\epsilon/n] \cup (2\epsilon/n,4\epsilon/n] \cup \dots \cup (\ldots,1].$

$a_i$ $a_i$ $a_i$ $[\ell,u]$ $i,j$ $a_i,\dots,a_j \in [\ell,u]$ $O(\lg(n/\epsilon))$

Ora stimeremo la somma dei valori in ciascun intervallo. La prima gamma verrà gestita separatamente da tutto il resto:

$[0,0.25\epsilon/n)$ $0$ $m \times 0.25\epsilon/n$ $m$ $m \le n$ $0.25 \epsilon$
$\delta$ $O(1/\delta^2)$ $2 \times$ $\delta = 0.25 \epsilon$

$0.25 \epsilon$ $0.25 \epsilon$ $\le 0.5 \epsilon$ $1$ $1-\epsilon$

— DW
fonte

Grazie - questo sembra interessante (per quanto posso dire, non è lo stesso approccio di quello usato nel documento / discussione sopra linkato) e darò uno sguardo più profondo a quello che hai scritto. Tuttavia, sto cercando un limite inferiore anziché superiore, ovvero quante query sono necessarie .

— Clemente C.

(Col passare del tempo, sto assegnando la "generosità" alla risposta, tuttavia, anche se sto ancora cercando un riferimento per un limite inferiore, se ce n'è uno da qualche parte lassù.)

— Clemente C.

@ClementC., Ho aggiunto un limite inferiore, per la tua richiesta.

— DW,

n

$n$

ε

$\varepsilon$