Generatore pseudocasuale per automi finiti

Sia una costante. Come possiamo dimostrare in modo dimostrabile un generatore pseudocasuale che imbroglia gli automi finiti ? $d$ $d$

Qui, un automa finito -state ha nodi , un nodo iniziale, un insieme di nodi che rappresentano gli stati di accettazione e due bordi diretti etichettati 0, 1 che fuoriescono da ciascun nodo. Cambia stato in modo naturale mentre legge l'input. Dato un , trova tale che per ogni automa finito computi una funzione , $d$ $d$ $\epsilon$ $f:\{0,1\}^{k}\to \{0,1\}^n$ $d$ $A$

| P_{x \sim U_{k}} (A (f (x)) = 1) - P_{x \sim U_{n}} (A (x) = 1) | < ϵ .

$|\mathbb P_{x\sim U_{k}}(A(f(x))=1)-\mathbb P_{x\sim U_n}(A(x)=1)|< \epsilon.$

Qui indica la distribuzione uniforme su variabili e vogliamo che sia il più piccolo possibile (es. ). Sto pensando di essere dell'ordine di , anche se possiamo chiedere anche la questione più in generale (es. Sarebbe il numero di bit necessari crescere con ?). $U_k$ $k$ $k$ $\log n$ $d$ $n$ $n$

Qualche sfondo

La costruzione di generatori pseudocasuali è importante nella derandomizzazione, ma il problema generale (PRG per algoritmi a tempo polinomiale) si è finora rivelato troppo difficile. Vi sono stati tuttavia progressi sui PRG per il calcolo dello spazio limitato. Ad esempio, questo recente documento ( http://homes.cs.washington.edu/~anuprao/pubs/spaceFeb27.pdf ) fornisce un limite di per i normali programmi di ramificazione read-once. La domanda con i programmi di ramificazione read-once generali è ancora aperta (con ), quindi mi chiedo se la risposta a questa semplificazione sia nota. (Un automa finito è come un programma di ramificazione read-once in cui ogni livello è uguale.) $\log n\log d$ $k=\log n$

automata-theory pseudorandomness pseudorandom-generators

— Holden Lee
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potrebbe aiutare a descrivere / descrivere alcuni dei motivi per cui questa è una formulazione naturale del problema, ad esempio origini / bkg / dettagli / ragionamento dell'espressione di probabilità. ci sono altre soluzioni note della domanda per altri modelli? è legato al framework PAC, ecc.?

— vzn

Ho aggiunto un piccolo sfondo.

— Holden Lee,

forse l'idea dei set di scherzi di FSM (p12) funzionerebbe bene qui? ("Se L ha una serie di scherzi infiniti, allora L non è accettato da nessun DFA.")

— vzn

Risposte:

Se è dell'ordine di è possibile scrivere un programma di ramificazione a larghezza costante come automa a stati finiti e la lunghezza del seme logaritmico non è nota. $d$ $n$

Ma se è molto piccolo, dì una costante, allora puoi fare di meglio e raggiungere la lunghezza del seme logaritmico - penso, questo è qualcosa a cui ho pensato anni fa ma che non ho mai scritto. Il trucco è usare il risultato di Nisan RL SC . Fondamentalmente, mostra che se ti viene dato un programma di ramificazione, puoi trovare una distribuzione di semi logaritmici che lo ingannano. Il suo risultato si estende a un numero limitato di programmi di diramazione. Quindi, se è una costante, puoi enumerare tutti i possibili automi a stati finiti e trovare una distribuzione che li inganni tutti. Questo dovrebbe continuare a funzionare fintanto che il numero di programmi è polinomiale in . $d$ $\subseteq$ $d$ $n$

— Manu
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\subseteq

$\subseteq$

$M^n$

questa stessa prova apparentemente è anche citata da RJlipton sul suo blog "la garanzia sul generatore di Nisans" . la prova sembra provenire dall'articolo Quanto è forte il generatore pseudo-casuale di Nisan? David, Papakonstantinou, Sidiropoulos (2010). nota anche una domanda quasi più profonda e limiti migliori sono legati a una separazione di classe di complessità maggiore:

$\mathsf{L} \neq \mathsf{NP}$

— VZN
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si noti, inoltre, che la carta DPS è un'estensione della carta Nisans [NIS92] nei suoi riferimenti alle macchine a spazio limitato con passaggi multipli. quel riferimento è N. Nisan. Generatori pseudocasuali per il calcolo limitato dallo spazio. Combinatorica, 12 (4): 449–461, 1992. (anche STOC'90).

— vzn

Forse se leggi il documento di Nisan noteresti che afferma il suo teorema in termini di FSM. Inoltre sarebbe bello se dai dei limiti quantitativi

— Sasho Nikolov,

si noti che alcune dichiarazioni di thm sono in termini di logs TM. vedi anche Fooling modelli limitati dallo spazio e polinomi di basso grado un sondaggio , Li, Yang, sec 1.3 p6 Fooling read-once log-space Turing Machine

— vzn

Sia questa domanda che il documento originale forniscono una dichiarazione in termini di FSM. Quindi il tuo commento è poco rilevante.

— Sasho Nikolov,

Puoi semplicemente affermare il teorema pertinente, nella formulazione di FSM dall'articolo di Nisan, nella tua risposta? Non osserva che lo affermano in un modo diverso, non un documento di indagine che lo afferma in un modo diverso: per prima cosa dichiarare la risposta effettiva alla domanda effettiva ? C'è qualcosa di difficile da capire sul perché sia una buona cosa da fare?

— Sasho Nikolov,