Riduzione al minimo degli automi che accettano

Qual è l'approccio standard per ridurre al minimo Büchi-Automata (o anche Müller-Automata)? Trasferire la solita tecnica da parole finite, cioè impostare due stati in modo che siano uguali se le parole "esaurirsi" degli stati che sono accettati sono uguali, non funzionerà. Ad esempio, si consideri il Büchi-Automoton che accetta tutte le parole con un numero infinito di a costituito da due stati, uno stato iniziale e uno finale e lo stato finale viene inserito ogni volta che viene letto un a e lo stato iniziale viene inserito ogni volta che un viene letto un simbolo diverso. Entrambi gli stati sono considerati uguali dalla definizione di cui sopra, ma il loro collasso produce un automa costituito da un singolo stato e quindi accetta ogni parola.

In generale, le lingue regionali $\omega$ potrebbero non avere un DBW minimo univoco. Ad esempio, il linguaggio "infinitamente molte a e infinitamente molte b" ha due DBW a 3 stati (nella figura sostituire $\neg a$ con $b$ ):

Come puoi vedere, non sono topologicamente equivalenti.

Quindi, il problema della minimizzazione è più difficile del caso finito e, di fatto, è NP-completo .

Questa domanda ha generato molta letteratura negli anni '80, in parte a causa di un cattivo approccio al problema. Questa è una storia piuttosto lunga che cercherò di riassumere in questa risposta.

1. Il caso delle parole finite

Si possono trovare due definizioni di un DFA minimo in letteratura. Il primo è definire il DFA minimo di una lingua normale come DFA completo con il numero minimo di stati che accettano la lingua. Il secondo è più lungo da definire, ma è matematicamente più attraente del primo e offre proprietà più forti.

Ricordiamo che un DFA è accessibile se per tutto q ∈ Q , esiste una parola u ∈ A ∗ tale che i ⋅ u = q . È completo$(Q, A, \cdot, i, F)$$q \in Q$$u \in A^*$$i \cdot u = q$ se è definita per ogni q ∈ Q e un ∈ A .$q \cdot a$$q \in Q$$a \in A$

Sia e A 2 = ( Q 2 , A , ⋅ , i 2 , F 2 ) siano due DFA completi e accessibili. Un morfismo da A 1 a ${\cal A}_1 = (Q_1, A, \cdot, i_1, F_1)$${\cal A}_2 = (Q_2, A, \cdot, i_2, F_2)$$\mathcal{A}_1$ è una funzione φ : Q 1 → Q 2 tale che$\mathcal{A}_2$$\varphi:Q_1 \to Q_2$

1. ,$\varphi(i_1) = i_2$
2. ,$\varphi^{-1}(F_2) = F_1$
3. per tutti e a ∈ A , $q \in Q_1$$a \in A$ .$\varphi(q)\cdot a=\varphi(q\cdot a)$

Si può dimostrare che queste condizioni implicano che è necessariamente suriettivo (e quindi | Q 2 | ⩽ | Q 1 | ). Inoltre, esiste al massimo un morfismo da A 1 a A 2 e se esiste questo morfismo, allora A 1 e A 2 riconoscono la stessa lingua. Ora, si può dimostrare che per ogni lingua L esiste un DFA A L accessibile completo unico che accetta L e tale che, per ogni DFA A accessibile completo che accetta $\varphi$$|Q_2| \leqslant |Q_1|$${\cal A}_1$${\cal A}_2$${\cal A}_1$${\cal A}_2$$L$${\cal A}_L$$L$$\cal A$$L$, V'è un morfismo da su A L . Questo automa è chiamato il minimo DFA di A L è inferiore al numero di stati in A , A L è anche minimo nel primo senso.$\cal A$${\cal A}_L$ . Si noti ancora che dal momento che il numero di stati in$L$${\cal A}_L$$\cal A$${\cal A}_L$

Vale la pena ricordare che esiste anche una definizione algebrica adatta per DFA incompleti . Vedi [Eilenberg, Automi, Lingue e macchine , vol. A, Academic Press, 1974] per maggiori dettagli.

2. Ritorno a parole infinite

L'estensione della prima definizione non funziona, come mostrato da Shaull nella sua risposta. E sfortunatamente si può anche dimostrare che la proprietà universale della seconda definizione non si estende a parole infinite, tranne in alcuni casi particolari.

È la fine della storia? Aspetta un secondo, c'è un altro oggetto minimo che accetta le lingue normali ...

3. L'approccio sintattico

$L$$A^*$ $M$$f:A^* \to M$$P$$M$$f^{-1}(P) = L$$M(L)$$L$$L$$L$$A^*$ $\sim_L$$L$

4. Conclusione

$\omega$