Complessità del completamento di n-regine?

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Il classico problema -queens chiede, dato un numero intero positivo , se esiste un array di numeri interi che soddisfa le seguenti condizioni: $n$ $n$ $Q[1..n]$

$1\le Q[i] \le n$ per tutti $i$
$Q[i] \ne Q[j]$ per tutti $i\ne j$
$Q[i]-i \ne Q[j]-j$ per tutti $i\ne j$
$Q[i]+i \ne Q[j]+j$ per tutti $i\ne j$

Ogni numero intero rappresenta la posizione di una regina sulla riga di una scacchiera ; i vincoli codificano il requisito che nessuna regina attacca un'altra regina. È facile dimostrare che non esistono soluzioni quando o e le soluzioni in forma chiusa sono note per tutti gli altri valori di . Quindi, come problema decisionale , il problema -queens è completamente banale. $Q[i]$ $i$ $n\times n$ $n=2$ $n=3$ $n$ $n$

L'algoritmo standard di backtracking per la costruzione di una soluzione -queens posiziona speculativamente le regine su un prefisso delle righe e quindi determina ricorsivamente se esiste un posizionamento legale delle regine sulle restanti righe. Il sottoproblema ricorsivo può essere formalizzato come segue: $n$

Dato un numero intero e una matrice di numeri interi, è un prefisso di una matrice che descrive una soluzione al problema -queens? $n$ $P[1..k]$ $P$ $Q[1..n]$ $n$

Questo problema decisionale più generale è NP-difficile?

È noto che molte domande vicine sono NP-hard, tra cui il completamento del quadrato latino [ Colbourn 1984 ], il completamento del Sudoku [ Yato e Seta 2002 ] e una diversa generalizzazione di -queens [ Martin 2007 ], ma questa domanda specifica sembra essere sfuggita qualsiasi seria attenzione. $n$

Domande cstheory.se correlate:

cc.complexity-theory board-games

— Jeffε
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2

Mi chiedo se le prove esistenti di completezza NP di Sudoku, completamento di Latin square (e tonnellate di altri problemi simili) ... trattano davvero di rappresentazioni succinte / sparse delle istanze (ad esempio nella prova di NPC di Latin Square Completion, Colbourn dice "L'appartenenza a NP è immediata" ma non menziona alcun problema di codifica dell'istanza).

— Marzio De Biasi,

1

@Marzio: queste prove dipendono fortemente dalla rappresentazione e (anche se di solito non è nemmeno menzionato) spesso non è nemmeno banale stabilire l'appartenenza a NP, ad esempio vedi cstheory.stackexchange.com/a/5559/109

— András Salamon,

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Ci sono voluti anni ma questo post ci ha ispirato a scrivere un articolo che è uscito oggi.

La risposta è che n Completamento Queens è NP-Complete. Tuttavia, per una divulgazione completa, dovremmo menzionare che risolviamo una leggera variante del problema. Nel nostro caso il set di regine non deve essere un prefisso del set completo. Quindi tecnicamente non abbiamo risolto il problema esatto qui richiesto. Tuttavia sarebbe estremamente sorprendente se la versione di n Queens Completion di questa query non fosse anche NP-Complete.

Voglio ripetere i ringraziamenti che abbiamo messo nel documento a Jeffε per aver sollevato questa domanda qui.

La complessità del n Journal di completamento di AI Research Gent, Jefferson, Nightingale doi: 10.1613 / jair.5512 http://www.jair.org/papers/paper5512.html

— Ian Gent
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Bello. Congratulazioni!

— Jeffε

Ho una domanda ingenua: mi sembra che se esiste un prefisso (corretto) di una lunghezza

, allora la transizione a un insieme di

può essere fatta controllando la diagonale del prefisso, e quindi, in tempo lineare . È così o mi manca qualcosa? (Capisco che il problema originale in post non implica il prefisso corretto )

n - 1

$n-1$

n

$n$

— Serg Rogovtsev

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(Ciò indica alcuni risultati correlati. Inizialmente pensavo che i risultati correlati fossero molto correlati, ma non riesco a colmare rapidamente le lacune, quindi forse dopo tutto non sono così correlate. Forse ancora utile.)

L'esercizio 118 nella (bozza di) sezione 7.2.2.2 di The Art of Computer Programming esamina un problema molto simile. Nella soluzione, Knuth accredita un articolo che a sua volta accredita

Gardnera, Gritzmannb, Prangenbergc, Sulla complessità computazionale della ricostruzione dei set reticolari dai loro raggi X , 1999

L'esercizio 118 dimostra che la TOMOGRAFIA DIGITALE BINARIA è NP-completa. L'input di questo problema è costituito da somme lineari e diagonali, tutte da . $[2]=\{0,1\}$

INPUT: e $r,c\in[2]^m$ $a,b\in[2]^{2m-1}$

$x\in[2]^{m\times m}$ $\sum_j x_{ij}=r_i$ $\sum_i x_{ij}=c_j$ $\sum_i x_{i,s-i}=a_s$ $\sum_i x_{i,d+i}=b_{d+m-1}$

Non mi è chiaro come ridurre questo al tuo problema. Un'osservazione che potrebbe aiutare è che l'output del tuo problema dipende anche solo dalle somme, non dall'esatto posizionamento delle regine. (Vedi Teorema 2.4 in [Rivin, Una soluzione di programmazione dinamica al problema n-Queens, 1992], anche se forse è facile da vedere.)

Knuth dimostra che la TOMOGRAFIA DIGITALE BINARIA è NP-completa con una riduzione del PROBLEMA DI CONTINGENZA BINARIA. Questo è un problema molto simile, tranne in 3 dimensioni e senza diagonali.

${xi},{xj},{xk}\in[2]^{n\times n}$

$x\in[2]^{n\times n\times n}$ $\sum_i x_{ijk}={xi}_{jk}$ $\sum_j x_{ijk}={xj}_{ik}$ $\sum_k x_{ijk}={xk}_{ij}$

L'articolo di Gardnera et al. sembra ridursi da problemi NP-completi più standard. Non capisco abbastanza bene né la riduzione per spiegarlo qui, quindi lascerò i suggerimenti dall'alto per consentirti di esplorare se lo desideri.

Tutto ciò potrebbe essere inutile, a meno che qualcuno non capisca come ridurre la TOMOGRAFIA DIGITALE BINARIA alla domanda che viene posta.

— Radu GRIGore
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