Esiste un CCC noto chiuso sotto un'operazione probabilistica di powerdomain?

Equivalentemente, esiste una semantica denotazionale nota per i linguaggi probabilistici di programmazione funzionale di ordine superiore? In particolare, esiste un modello di dominio di puro non tipizzato -esteso esteso da un'operazione di scelta binaria casuale simmetrica.$\lambda$

Motivazione

Le categorie chiuse cartesiane forniscono una semantica a calcoli ordine superiore. I powerdomain probabilistici forniscono semantica ai programmi stocastici. Un CCC chiuso sotto un'operazione probabilistica di powerdomain fornirebbe una semantica a un linguaggio di programmazione funzionale di ordine superiore stocastico.$\lambda$

Lavoro correlato

Tix, Keimel e Plotkin (2004) [1] forniscono costruzioni moderne delle operazioni del dominio di potenza inferiore, superiore e convesso, ma osservano che

È ancora un problema aperto se esiste una categoria cartesiana chiusa di domini continui che è chiusa sotto la costruzione di powerdomain probabilistici.

Mislove (2013) [2,3] fornisce semantica per variabili casuali continue in un linguaggio del primo ordine, ma lo osserva

Anche se il dominio di potere probabilistico lascia il CCC dei poset completi diretti (dcpos, in breve) e delle mappe continue di Scott invarianti, non esiste una categoria cartesiana di domini chiusi - dcpos che soddisfano il solito presupposto di approssimazione - che è noto essere invariante sotto questo costrutto. Il meglio che si sa è che la categoria di domini coerenti è invariante sotto la monade della scelta probabilistica [4], ma questa categoria non è chiusa cartesiana.

Riferimenti

1. Regina Tix, Klaus Keimel e Gordon Plotkin (2004) "Domini semantici per combinare probabilità e non determinismo" .
2. Michael Mislove (2013) "Anatomia di un dominio di variabili casuali continue I"
3. Michael Mislove (2013) "Anatomia di un dominio di variabili casuali continue II"
4. Jung, A. e R. Tix (1998) "Il fastidioso potere probabilistico"

Quello che segue è un commento esteso, non risponde alla tua domanda nei termini in cui l'hai posto, ma fornisce una semantica per calcoli probabilistici di ordine superiore che potresti trovare interessanti.

Negli ultimi anni c'è stata una linea di ricerca molto attiva sulla cosiddetta semantica denotazionale quantitativa della logica lineare, basata sull'idea (originariamente dovuta a Girard [1]) che i programmi di ordine superiore possono essere modellati da serie di potenze. Nel caso probabilistico, ciò assume la forma dei cosiddetti spazi di coerenza probabilistica (PCS), anch'essi introdotti da Girard [2] e studiati a fondo da Danos ed Ehrhard [3]. I PC producono modelli di calcoli probabilistici sia tipati che non tipizzati che sono di natura molto diversa rispetto ai domini di potenza e ad altri modelli relativi alla monade. In particolare, PCS fornisce quello che è finora l'unico modello completamente astratto conosciuto di PCF probabilistico [4], che è notoriamente difficile e apparentemente impossibile da raggiungere con domini di potere (cfr. Il lavoro diJean Goubault-Larrecq ).

Oltre a Ehrhard, la semantica quantitativa è ora attivamente sviluppata da Michele Pagani e coautori, ti suggerisco di consultare la sua pagina web per ulteriori riferimenti.

[1] Jean-Yves Girard, Funzionari normali, serie di potenze e -calculus. Annals of Pure and Applied Logic 37 (2): 129-177, 1988.$\lambda$

[2] Jean-Yves Girard, Tra logica e quantica: un tratto . In logica lineare in informatica , CUP, 2004.

[3] Vincent Danos e Thomas Ehrhard, spazi di coerenza probabilistica come modello di calcolo probabilistico di ordine superiore . Informazione e calcolo 209 (6): 966-991, 2011.

[4] Thomas Ehrhard, Michele Pagani e Christine Tasson, Gli spazi di coerenza probabilistica sono completamente astratti per PCF probabilistico . In Atti del POPL , pagg. 309-320, 2014.

Il commento di seguito è corretto, ma è importante comprendere il significato di elementi "finiti" o "compatti" di un dominio. Queste sono le denotazioni di oggetti calcolabili in tempo finito, quindi il loro aspetto in un modello semantico non è per comodità teorico-dimostrativo, ma rappresentano la forte connessione tra il modello e il calcolo effettivo.

Bene, la citazione di Mislove contiene già una risposta positiva: la categoria di dcpos è chiusa alla carta e anche sotto il dominio probabilistico. Può davvero essere usato per dare una semantica denotazionale al calcolo probabilistico di ordine superiore. Tuttavia, dcpos non riesce a soddisfare le "solite ipotesi di approssimazione" secondo cui ogni elemento può essere approssimato da elementi "finiti" in un certo senso, come nel caso dei cpos algebrici e continui. Queste ipotesi aiutano con alcuni argomenti denotazionali ma non sono necessarie per dare una semantica in sé.