Perché mod_m gates è interessante?

Ryan Williams ha appena pubblicato il suo limite inferiore su ACC , la classe di problemi che hanno circuiti a profondità costante con fan-in illimitati e porte AND, OR, NOT e MOD_m per tutte le possibili m.

Cosa c'è di così speciale nelle porte MOD_m?

• Consentono di simulare l'aritmetica su qualsiasi anello Z_m.
• Prima del risultato di Ryan, lanciare le porte MOD_m al mix ha dato la prima classe per la quale i limiti inferiori noti non funzionavano.

C'è qualche altra ragione naturale per studiare le porte MOD_m?

è una classe di complessità naturale.$ACC^0$

1) Barrington ha mostrato che il calcolo su monoidi non risolvibili cattura mentre su monoidi risolvibili cattura A C C 0 .$NC^1$$ACC^0$

2) Recentemente, Hansen e Koucky hanno dimostrato un bellissimo risultato che i programmi di ramificazione planare a larghezza costante polivalente sono esattamente . Senza la condizione di planarità, ovviamente otteniamo il risultato di Barrington che caratterizza N C 1 .$ACC^0$$NC^1$

Quindi la differenza tra e N C 1 è teorica di gruppo da un lato e topologica dall'altro.$ACC^0$$NC^1$

Aggiunto: Dana, un semplice esempio di un gruppo risolvibile è , il gruppo simmetrico sugli elementi. Senza entrare nei dettagli, ogni gruppo risolvibile ha una serie i cui quozienti risultano ciclici. Questa struttura ciclica si riflette come gate mod mentre si costruisce un circuito per risolvere i problemi di parole sul gruppo.$S_4$

Per quanto riguarda la planarità, si vorrebbe credere che la planarità possa imporre restrizioni / strozzature nel flusso di informazioni. Questo non è sempre vero: ad esempio, le variazioni di 3SAT planare sono note per essere NP-complete. Tuttavia, nelle classi più piccole, queste restrizioni sono più "probabili" da sostenere.

Allo stesso modo, Wigderson ha mostrato NL / poly = UL / poly usando il lemma di isolamento. Non sappiamo come derandomizzare il lemma dell'isolamento sui DAG arbitrari per ottenere NL = UL, ma sappiamo come farlo per i DAG planari.

Forse questa non è davvero una risposta alla tua domanda. Ma basta dare un esempio del motivo per cui a volte porte (per composito m ) sono più potenti di mod p porte:$\bmod m$$m$$\bmod p$

Si consideri la classe di circuiti profondità costante che consistono solo di porte e gli ingressi e le costanti le foglie. Quindi, si può facilmente dimostrare che la funzione OR (ad esempio) non può essere calcolata da tali circuiti, indipendentemente dalle dimensioni del circuito. (Questo perché un tale circuito calcola un polinomio di basso grado su F p e il grado di OR è n ).$\bmod p$$\mathbb{F}_p$$n$

Tuttavia, se si considera circuiti che consistono unicamente cancelli dove m ha almeno due fattori primi distinti, c'è una profondità 2 circuito (di dimensione esponenziale) per la funzione OR.$\bmod m$$m$$2$

E prima del risultato di Ryan, era la classe più piccola per la quale non avevamo limiti inferiori decenti.$AC^0[\bmod 6]$

Giusto per approfondire i tuoi due punti:

Se ci occupiamo della comprensione del calcolo, il conteggio modulare è una delle frontiere della nostra comprensione. Il conteggio modulare è uno dei fenomeni più semplici e naturali nel calcolo, eppure sembra che ne comprendiamo così poco. Non possiamo escludere la possibilità che circuiti con profondità di dimensione polinomiale 3 con solo porte Mod6 possano calcolare ogni funzione in NP. Si ipotizza tuttavia che tali circuiti possano calcolare solo funzioni con dimensioni di supporto elevate e quindi non possano calcolare una funzione molto semplice come AND. Sul lato superiore la situazione è simile, non abbiamo risultati non banali.

Queste domande sono anche molto interessanti da una prospettiva puramente matematica poiché sono strettamente legate a domande molto naturali su polinomi e matrici su Z_m. Per fare un esempio, non abbiamo buoni limiti inferiori per il rango di una matrice codiagonale nxn su Z_6. Una matrice codiagonale ha 0s in diagonale e nonzeros in diagonale.