Gerarchia uniforme di problemi che abbracciano complessità e gerarchie computazionali

Qualcuno sa di una serie di problemi che variano in modo uniforme e abbracciano una delle gerarchie "interessanti" di complessità e calcolabilità? Per interessante, intendo, ad esempio, la Gerarchia polinomiale, la Gerarchia aritmetica o la Gerarchia analitica. O forse (N) P, (N) EXP, 2 (N) EXP,$\ldots$

Più concretamente: puoi dare una serie uniforme di problemi che caratterizzano la Gerarchia aritmetica: . Ma questi non sono sempre i più utili per ridurre a problemi reali.$0, 0', \overline{0'}, 0'', \overline{0''},\ldots$

D'altra parte, il libro di Harel, Kozen e Tiuryn ​​presenta una serie di vari problemi di piastrellatura che sono NP, $\Pi^0_1$ , $\Sigma^0_2$ e $\Sigma^1_1$ completi. I problemi sono utili per mostrare riduzioni, ma non è del tutto chiaro se si generalizzano in modo uniforme per coprire gli altri livelli delle gerarchie in cui si trovano.

Qualcuno sa di una tale serie di problemi concreti e uniformi che abbracciano una gerarchia?

EDIT: Solo per chiarimenti, so che le 3 gerarchie che do soprattutto hanno definizioni standard in termini di alternanza della forza del quantificatore. Non è quello che sto cercando. Sto cercando qualcosa di diverso, come un gioco su un grafico o un puzzle giocato con i soffitti.

[Basandosi sull'intuizione di Kaveh nei commenti.] Sembra improbabile che qualcuno possa inventare una famiglia di problemi che è significativamente diversa dalla formula booleana quantificata, senza confutare l'analogo PH della congettura dell'isomorfismo di Berman-Hartmanis. Senza questo, qualsiasi problema che ti viene in mente non sarebbe solo equivalente a , ma in realtà è isomorfo ad esso. Un modo per definire l'isomorfismo tra due lingue qui è prendere un singolo linguaggio astratto, ma codificare i suoi oggetti (in questo caso, formule booleane quantificate) usando due diverse codifiche booleane.$QBF_k$

D'altra parte, l'isomorfismo non è necessariamente un buon giudice di ciò che è utile per le persone a fornire prove. Dopotutto, nella gerarchia aritmetica, il Teorema dell'isomorfismo di Myhill dimostra l'analogo aritmetico della congettura dell'isomorfismo di BH (in effetti, questa è storia all'indietro da quando BH era motivato da Myhill). Tuttavia, come sottolinea la domanda, esistono diverse caratterizzazioni "di aspetto diverso" di vari livelli, alcune delle quali sono più utili per le prove di altre.

Anche se sembra improbabile che qualcuno troverà una famiglia di lingue così uniforme per ogni livello di PH, i due sondaggi ( uno , due ) di Schaefer e Umans discutono di problemi naturali che almeno "sembrano diversi" da QBF per i primi pochi livelli di PH.