Sistema di "equazioni stocastiche"

Considera un grafico con vertici e bordi. I vertici sono etichettati con variabili reali , dove è fisso. Ogni fronte rappresenta una "misura": per il bordo , ottengo una misura . Più precisamente, è una quantità veramente casuale in , uniformemente distribuita e indipendente da tutte le altre misurazioni (bordi). $n$ $m$ $x_i$ $x_1=0$ $(u,v)$ $z \approx x_u - x_v$ $z$ $(x_u - x_v) \pm 1$

Mi vengono dati il grafico e le misurazioni, con la promessa di distribuzione di cui sopra. Voglio "risolvere" il sistema e ottenere il vettore di . C'è qualche lavoro su problemi di questo tipo? $x_i$

In realtà, voglio risolvere un problema ancora più semplice: qualcuno mi indica vertici e , e devo calcolare . Ci sono molte cose da provare, come trovare un percorso più breve o trovare quanti più percorsi disgiunti possibile e fare la media (ponderati dall'inverso della radice quadrata della lunghezza). C'è una risposta "ottimale"? $s$ $t$ $x_s - x_t$

Il problema del calcolo di è di per sé completamente definito (ad esempio, dovrei assumere un precedente sulle variabili?) $x_s - x_t$

ds.algorithms graph-algorithms

— Mihai
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sebbene questa non sia una risposta, viene in mente l'utilizzo di un filtro Kalman lungo un percorso da s a t come un modo per ottenere una buona gestione della lunghezza del percorso.

— Suresh Venkat,

Questo potrebbe non aiutare, o potrebbe essere molto più tecnologia del necessario, ma esiste una teoria in via di sviluppo della topologia algebrica stocastica per rispondere a domande in robotica e biologia molecolare su complessi i cui bordi sono misurati in modo impreciso. Esistono teoremi sugli asintotici dei collegamenti casuali (collegamento = grafico con pesi dei bordi). Ad esempio, penso che i risultati in questo documento ti permetterebbero di ottenere i numeri Betti previsti del tuo grafico: arxiv.org/abs/0708.2997

— Aaron Sterling

Il fatto che gli errori siano distribuiti uniformemente in [-1,1] piuttosto che in qualche altra distribuzione inerente al tuo problema o una decisione di modellizzazione arbitraria? Se quest'ultimo, probabilmente, puoi rendere le cose molto più semplici usando invece i gaussiani.

— Warren Schudy,

Il modello di errore è sicuramente inerente al problema.

\pm 1

$\pm 1$

— Mihai,

Risposte:

L'area a cui si desidera cercare le risposte è l'apprendimento automatico. Hai designato un modello grafico. Penso che in questo caso siano sufficienti metodi facili come la propagazione del credo .

— Raphael
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La propagazione delle credenze non è esatta nei grafici generali. Il problema di Mihai sembra essere risolvibile con metodi più basati sulla propagazione delle credenze.

— Warren Schudy,

Se le misurazioni fossero gaussiane, minimizzare la somma dei residui quadrati (come l'adattamento lineare della curva dei minimi quadrati) ti darebbe uno stimatore di massima verosimiglianza. Per il tuo problema non ho scritto nulla, ma immagino (tramite la regola di Bayes) che qualsiasi set di che potrebbe aver generato i tuoi dati abbia la stessa probabilità di averlo prodotto. Puoi trovare una soluzione di massima verosimiglianza trovando un punto in un politopo (ovvero risolvendo un programma lineare senza obiettivo). A seconda di cosa vuoi fare con la tua stima (funzione di perdita), il miglior stimatore è quello che minimizza l'integrale della tua funzione di perdita su quel politopo. Aspetterò fino a quando non ci dirai qual è la tua funzione di perdita prima di indovinare come valutare e ridurre al minimo quell'integrale in modo efficiente. $x$

— Warren Schudy
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Sembra difficile da credere. Supponiamo che il mio grafico è serie-parallelo tra

, e ogni percorso seriale ha la stessa lunghezza. Ogni percorso mi dà una misura indipendente della stessa quantità e se i percorsi sono lunghi, l'errore diventa gaussiano. Sembra chiaro che la mle unica sia la media dei percorsi, no?

s

$s$

t

$t$

— Mihai,

Buon punto. Ovunque nel polytope è uno stimatore della massima probabilità della distribuzione congiunta di

s, ma ho dimenticato che stavi cercando solo uno stimatore di

. Per ottenere lo stimatore della massima verosimiglianza di

è necessario trovare il piano

con l'intersezione massima con quel politopo. Sembra che in generale i volumi di calcolo dei polipropi siano difficili da fare esattamente ma possono essere approssimati: mathoverflow.net/questions/979/… . Quindi puoi fare una ricerca binaria per un valore di probabilità massima approssimativo.

x

$x$

x_{s} - x_{t}

$x_s-x_t$

x_{s} - x_{t}

$x_s-x_t$

x_{s} - x_{t} = c

$x_s - x_t = c$

— Warren Schudy,

Ovviamente calcolare il volume del particolare politopo in questione potrebbe essere potenzialmente molto più semplice. Dovrei pensarci.

— Warren Schudy,

Ho il sospetto che i gaussiani si comportino meglio in quanto l'MLE della distribuzione congiunta fornisce anche l'MLE di ogni variabile. Ma dovrei pensare di più e / o cercarlo per esserne sicuro.

— Warren Schudy,

La tua serie / esempio parallelo suggerisce che minimizzare la somma dei residui quadrati può essere un'euristica efficace per alcuni grafici anche quando i tuoi errori non sono gaussiani.

— Warren Schudy,