In che modo la carta BosonSampling evita le classi facili di matrici complesse?

In La complessità computazionale dell'ottica lineare ( ECCC TR10-170 ), Scott Aaronson e Alex Arkhipov sostengono che se i computer quantistici possono essere simulati in modo efficiente dai computer classici, la gerarchia polinomiale crolla al terzo livello. Il problema motivante è il campionamento da una distribuzione definita da una rete lineare-ottica; questa distribuzione può essere espressa come il permanente di una matrice particolare. Nel caso classico tutte le voci della matrice sono non negative, e quindi esiste un algoritmo probabilistico in tempo polinomiale, come mostrato da Mark Jerrum, Alistair Sinclair e Eric Vigoda (JACM 2004, doi: 10.1145 / 1008731.1008738). Nel caso quantico le voci sono numeri complessi. Si noti che nel caso generale (quando le voci non devono essere non negative) il permanente non può essere approssimato neppure all'interno di un fattore costante, secondo il classico risultato di Valiant del 1979.

L'articolo definisce una distribuzione definita da una matrice e un problema di campionamento$D_A$$A$

BosonSampling
Input: matrice Campione: dalla distribuzione$A$
$D_A$

L'uso di un risultato di durezza sembra essere un'evidenza debole per una separazione tra il mondo classico e quello quantistico, poiché è possibile che la classe di matrici nella specifica configurazione quantistica avrà tutte una forma speciale. Potrebbero avere voci complesse, ma potrebbero comunque avere molta struttura. Potrebbe quindi esistere una procedura di campionamento efficiente per tali matrici, anche se il problema generale è # P-hard.

In che modo l'uso di BosonSampling nella carta evita le lezioni facili?

L'articolo utilizza molto background che non ho nella complessità quantistica. Date tutte le persone quantistiche su questo sito, apprezzerei molto un puntatore nella giusta direzione. Come sosterrebbero gli argomenti se si scoprisse che la classe di matrici a valore complesso vista in una specifica configurazione sperimentale corrispondeva effettivamente a una classe di distribuzioni da cui era facile campionare? O c'è qualcosa di inerente al sistema quantistico che garantisce che ciò non possa accadere?

Grazie per la tua domanda! Ci sono due risposte, a seconda che tu sia interessato ai risultati di durezza per il campionamento esatto o approssimativo di Boson.

Nel caso esatto, dimostriamo che in qualsiasi n-da-n complessa matrice A, è possibile costruire un esperimento ottico che produce un'uscita particolare con probabilità proporzionale a | Per (A) | ² . Questo, a sua volta, implica che nessun algoritmo classico del tempo polinomiale può campionare esattamente dalla stessa distribuzione dell'esperimento ottico (data una descrizione dell'esperimento come input), a meno che P ^#P = BPP ^NP . In effetti possiamo rafforzarlo, per dare una singola distribuzione D _n (a seconda solo della lunghezza di input n) che può essere campionata usando un esperimento ottico di dimensione poly (n), ma che non può essere campionata classicamente in poly (n ) a meno che P ^#P = BPP ^NP .

Nel caso approssimativo, la situazione è più complicata. Il nostro risultato principale dice che, se esiste un classico algoritmo del tempo polinomiale che simula l'esperimento ottico anche approssimativamente (nel senso del campionamento da una distribuzione di probabilità su output che è 1 / poli (n) -chiudi in distanza di variazione), quindi in BPP ^NP , puoi approssimare | Per (A) | ² , con alta probabilità su una matrice n-per-n A di gaidiani iid con media 0 e varianza 1.

Noi ipotizziamo che il problema di cui sopra sia # P-difficile (almeno, non in BPP ^NP ), e le pagine 57-82 del nostro documento riguardano tutte le prove per quella congettura.

Naturalmente, forse la nostra congettura è falsa, e si può effettivamente dare un algoritmo poli-tempo per approssimare i permanenti delle matrici gaussiane. Sarebbe un risultato fenomenale! Tuttavia, l'intero punto dell'85% del lavoro svolto è stato quello di basare tutto su una congettura di durezza che fosse il più possibile pulita, semplice e "priva di quantismo". In altre parole, invece del presupposto

"approssimare i permanenti di alcune strane matrici speciali che si presentano nel nostro esperimento è # P-difficile",

dimostriamo che è sufficiente fare il presupposto

"approssimare i permanenti delle matrici gaussiane iid è # P-difficile."