Applicazioni della topologia all'informatica

Vorrei scrivere un sondaggio sulle applicazioni della topologia in informatica. Ho intenzione di coprire la storia delle idee topologiche in Informatica e di evidenziare anche alcuni sviluppi attuali. Sarebbe estremamente utile se qualcuno potesse dare un contributo in merito a una qualsiasi delle domande seguenti.

1. Esistono documenti o note che descrivono la cronologia dell'uso della topologia in Informatica?

2. Quali sono le applicazioni più importanti dei risultati nella topologia all'informatica?

3. Quali sono le aree più interessanti del lavoro attuale che usano la topologia per ottenere informazioni sul calcolo?

Grazie!

Personalmente, penso che l'applicazione più interessante della topologia sia stata il lavoro svolto da Herlihy e Shavit. Hanno usato la topologia algebrica per caratterizzare il calcolo distribuito asincrono e hanno fornito nuove prove di importanti risultati noti e eliminato alcuni problemi aperti di vecchia data. Hanno vinto il premio Godel del 2004 per quell'opera.

"La struttura topologica del calcolo asincrono" di Maurice Herlihy e Nir Shavit, Journal of the ACM, vol. 46 (1999), 858-923,

La topologia è una disciplina così matura con vari sottocampi tra cui topologia geometrica, algebrica, metrica, set-point e (auto-deprecante) inutile. L'informatica è anche abbastanza ampia e ha molte sotto-aree matematiche, quindi mi aspetterei molte applicazioni di idee topologiche in CS. Marshall Stone ha affermato che "topologizza sempre" e che spesso hanno gli informatici con il background necessario. Abbastanza blah. Alcuni esempi

Questi esempi non riguardano solo i problemi di CS risolti dalla topologia. A volte una nozione topologica si trasferisce molto bene in un ambiente CS o fornisce la base per una sottoarea di CS.

1. Il teorema di compattezza della logica proposizionale è una conseguenza del teorema di Tychonoff. La compattezza per la logica del primo ordine è generalmente dimostrata in modo diverso. La compattezza è uno strumento importante nella teoria dei modelli classici.

2. Il teorema di rappresentazione di Stone per le algebre booleane mette in relazione modelli di logica proposizionale, algebre booleane e determinati spazi topologici. I risultati della dualità di tipo stone sono stati derivati ​​per le strutture utilizzate nella logica algebrica e nella semantica del linguaggio di programmazione.

3. Nick Pippenger ha applicato il teorema di Stone all'algebra booleana delle lingue regolari e ha usato la topologia per dimostrare diversi fatti sulle lingue normali. Vedi il commento di Jean-Eric Pin per i lavori più recenti sulla topologia nella teoria del linguaggio.

4. Nei metodi formali, ci sono le nozioni di proprietà di sicurezza e vivacità. Ogni proprietà a tempo lineare può essere espressa come intersezione di una proprietà di sicurezza e di vivacità. La dimostrazione utilizza una topologia elementare.

5. Martín Escardó ha sviluppato algoritmi e programmi scritti per cercare insiemi infiniti. Credo che la compattezza sia un ingrediente chiave di quel lavoro.

6. Il lavoro dei topologi polacchi (come Kuratowski) ci ha fornito operatori di chiusura. Gli operatori di chiusura su reticoli sono una parte cruciale della teoria dell'interpretazione astratta, che è alla base dell'analisi statica del programma.

7. Gli operatori di chiusura e altre idee topologiche sono la base della morfologia matematica.

8. La nozione di operatori interni anche della scuola polacca è importante nell'assiomatizzazione delle logiche modali.

9. Molta scienza informatica si basa su strutture basate su grafici. Alcune applicazioni richiedono nozioni più ricche di connessione e flussi rispetto a quella fornita da grafici e topologia è il passaggio naturale successivo. Questa è la mia lettura degli automi di dimensione superiore di van Glabbeek nella teoria della concorrenza e dell'applicazione della topologia geometrica di Eric Goubault alla semantica dei programmi concorrenti.

10. Probabilmente l'applicazione che riceve la maggior parte della stampa è l'applicazione della topologia (inizialmente algebrica, sebbene esistano anche più presentazioni combinatorie) per caratterizzare alcuni scenari di tolleranza agli errori nel calcolo distribuito. Oltre a Herlihy e Shavit di cui sopra, Borowsky e Gafni e Saks e Zaharouglou hanno anche offerto proosf per la prima svolta. Il framework di computabilità asincrono ha prodotto più risultati.

11. Il teorema del punto fisso di Brouwer ha dato origine a numerosi problemi che studiamo. Più recentemente nello studio della teoria dei giochi algoritmica, la classe di complessità PPAD e la classe di complessità FixP dei problemi a punto fisso.

12. Il teorema di Borsuk-Ulam ha diverse applicazioni per grafici e incorporamenti metrici. Questi sono trattati nel libro di Jiří Matoušek.

Questi sono scarsi raccolti in quello che c'è là fuori. In bocca al lupo!

$D\cong [D\to D]$$\lambda$-calcolo. La semantica si basa fondamentalmente sulla nozione di approssimazione, data dall'ordinamento, e sulla soluzione di equazioni meno fissa, e le soluzioni sono generalmente garantite per esistere.

Derivanti dalla semantica denotazionale sono le connessioni con l'interpretazione astratta e l'analisi e la verifica del programma.

La ricerca attuale include la fornitura di semantica denotazionale per la concorrenza e per i linguaggi quantistici.

Abramsky e Jung danno una bella panoramica delle idee fondamentali: Domain Theory .

Limiti al numero di componenti collegati, e più in generale a numeri di Betti, di varietà semi-algebriche e disposizioni di iperpiani (e relativi complementi) sono stati usati per diversi limiti inferiori su alberi di calcolo e decisione algebrici. Per alcuni grandi riferimenti, vedi:

Michael Ben-Or, Limiti inferiori per alberi di calcolo algebrici, STOC 1983, pp. 80-86.

Andrew Chi-Chih Yao, Complessità dell'albero decisionale e numeri di Betti, J. Comput. System Sci. 55 (1997), n. 1, parte 1, 36-43 (STOC 1994).

Anders Bjorner e Laszlo Lovasz, Alberi delle decisioni lineari, disposizioni del sottospazio e funzioni di Mobius, J. Amer. Matematica. Soc. 7 (1994), n. 3, 677-706.

In una vena diversa ma in qualche modo correlata, Smale ha usato la topologia in un modo piuttosto interessante (in particolare, la coomologia del gruppo treccia) per limitare la complessità della ricerca di radici nel modello Blum-Shub-Smale:

Smale, S. Sulla topologia degli algoritmi, IJ Complexity, 3 (2): 81-89, 1987.

$2^{\omega}$

Questo è legato alla risposta di Dave e alla teoria del dominio. L'argomento di base qui è che la calcolabilità è intrinsecamente basata su operazioni locali e osservazioni finite . Puoi considerare la calcolabilità come una nozione raffinata di topologia. L'esempio più chiaro è che:

Tutte le funzioni calcolabili (oracle Turing) sono continue. D'altra parte, ogni funzione continua è l'oracolo di Turing calcolabile con un oracolo adatto.

Puoi trovare di più nel libro di Klaus Weihrauch "Analisi calcolabile". Potresti anche dare un'occhiata al bel libro di Steven Vickers intitolato "Topologia tramite logica".

Altri due documenti che potrebbero essere rilevanti per il tuo sondaggio ...

M. Gehrke, S. Grigorieff, J.-E. Pin, Un approccio topologico al riconoscimento, ICALP 2010, Parte II, Appunti di lezione in Informatica 6199, Springer Verlag, (2010), 151-162.

M. Gehrke, S. Grigorieff, J.-E. Pin, dualità e teoria equazionale dei linguaggi regolari, Premio per la migliore carta dell'ICALP 2008, Traccia B, ICALP 2008, Parte II, Appunti delle lezioni in Informatica 5126, Springer Verlag, (2008), 246-257.

Non dimenticare la congettura di Kneser e la prova Kahn / Saks / Sturtevant per la congettura di Aandera-Rosenberg-Karp.

Non ho mai visto menzionato il lavoro di Robert Ghrist , precedentemente all'Illinois ma ora all'U Penn, che applica la topologia a cose come le reti di sensori e la robotica. Ecco una bella intervista.

Molto legato anche al lavoro di Gunnar Carlsson e altri sull'applicazione della topologia all'analisi dei dati .

Forse non lo STOC / FOCS TCS, ma sicuramente l'informatica.

Le teorie per comprendere la concorrenza e modellare i calcoli simultanei sono meglio comprese topologicamente. Oltre al famoso lavoro di Herlihy e Shavit sulla struttura topologica della computabilità asincrona menzionato in una risposta precedente, Eric Goubault ha svolto un lavoro sulla modellazione della concorrenza con la geometria e interessante anche il lavoro di Pratt sulle applicazioni degli spazi Chu per la concorrenza nel gruppo Stanford Concurrency anche se non ho familiarità con il loro lavoro.

Tutto il lavoro iniziato da Kitaev sull'approccio topologico a un computer quantistico a tolleranza d'errore. Vedi l' articolo originale di Kitaev o, ad esempio, gli appunti di John Preskill .

Nessuno ha ancora menzionato la topologia algebrica diretta , che è stata in effetti sviluppata per fornire una cassetta degli attrezzi topologica algebrica adatta per lo studio della concorrenza.

Esistono anche diversi approcci topologici a bassa dimensione agli argomenti della teoria del calcolo, tutti abbastanza nuovi:

• Vari approcci al calcolo quantico anyonic tollerante ai guasti basato sulla teoria delle trecce. Vedi ad esempio QUI e QUI . Anche a reti di calcoli quantistici adiabatici QUI .
• Formalismi schematici basati sulla topologia per il calcolo lambda (ad esempio QUI , pagine 46-48 e QUI ) e per il calcolo pi di Milner ( QUI ).
• Utilizzo della concatenazione di grovigli colorati per modellare la ricorsione e le catene di Markov. Vedi ad esempio QUI e QUI . In effetti è provato (non pubblicato) che qualsiasi calcolo della macchina di Turing e qualsiasi rete neurale di primo ordine ricorrente possono essere modellati in questo modo.
• Esiste un formalismo teorico di categoria superiore per il calcolo quantistico in cui i diagrammi topologici rappresentano i calcoli e i diagrammi topologicamente equivalenti rappresentano procedure diverse con identico contenuto computazionale. Vedi QUI .

Alcune applicazioni per incorporamenti metrici.

Controlla questo libro di Matousek: http://kam.mff.cuni.cz/~matousek/akt.html

Dai un'occhiata anche a questi documenti:

• Incisioni di Bi-Lipschitz in spazi euclidei a bassa dimensione, J. Matousek (1990) (Usa il teorema di van Kampen per dimostrare un limite inferiore)
• Inapprossimabilità per Metric Embeddings in R ^ d, J. Matousek e A. Sidiropoulos

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Dai un'occhiata a questo libro, Complessità computazionale: una prospettiva quantitativa, studia le dimensioni di alcune classi di complessità usando strumenti topologici limitati alle risorse.

$P$$NP$$P \ne NP$$NP-P$$NP$$NP-P$