Set di gradi per grafici ad estensione lineare

Un'estensione lineare di un poset è un ordine lineare sugli elementi di , tale che in implica in per tutti . $L$ $\mathcal{P}$ $\mathcal{P}$ $x \leq y$ $\mathcal{P}$ $x \leq y$ $L$ $x,y\in\mathcal{P}$

Un grafico di estensione lineare è un grafico sull'insieme di estensioni lineari di un poset, in cui due estensioni lineari sono adiacenti esattamente se si trovano in uno scambio di elementi adiacente.

Nell'immagine seguente c'è il poset noto come -poset e il suo grafico di estensione lineare, dove . $N$ $a=1234, b=2134, c=1243, d=2143, e=2413$

testo alternativo (Questa cifra è tratta dal lavoro .)

Quando studi i grafici di estensione lineare (LEG) puoi avere un'idea (congettura) che se - grado massimo di una LEG, - rispettivamente, grado minimo, allora l'insieme di gradi di qualsiasi LEG è costituito da e ogni numero naturale tra di loro. Ad esempio, prendiamo un poset, noto come chevron, quindi nella sua LEG con e , e anche, secondo alla nostra congettura, i vertici con i gradi 4 e 3 sono contenuti nel grafico. Quindi, la domanda è: possiamo provare o confutare questa congettura? $\Delta$ $\delta$ $\Delta,\delta$ $\mathcal{G}$ $\Delta(\mathcal{G})=5$ $\delta(\mathcal{G})=2$

A proposito di LEGs e come sembrano leggersi nella tesi di laurea di Mareike Massow qui . Chevron e la sua LEG possono essere visti nella pagina 23 della tesi.

Sul set di laurea c'è il classico documento " Set di laurea per grafici " di Kapoor SF et al.

graph-theory co.combinatorics

— Oleksandr Bondarenko
fonte

cos'è un grafico di estensione lineare? vale a dire, puoi piegare la definizione nella domanda in modo che sia un po 'più autonoma?

— Suresh Venkat,

Questa congettura è carina. C'è qualche motivazione o applicazioni note per la congettura? (Di 'riduzioni ad altre congetture.)

— Hsien-Chih Chang 張顯之

@ Hsien-Chih Chang La motivazione di questa congettura è quando la dimostriamo, conosceremo il contenuto dell'insieme di gradi solo conoscendo i gradi massimo e minimo di un dato grafico di estensione lineare.

— Oleksandr Bondarenko il

Penso di averlo dimostrato ieri. Quindi ecco lo schizzo della dimostrazione. Inizialmente, viene dimostrato il seguente lemma.

Lemma . Sia - un ordine parziale, - il suo grafico di estensione lineare e - due vertici adiacenti di . Quindi . $\mathcal{P}$ $G(\mathcal{P})$ $v_1,v_2$ $G(\mathcal{P})$ $|deg(v_1)-deg(v_2)|\leq 2$

Lo schizzo della prova.

Allo stesso tempo, sono estensioni lineari di tale che una di esse, ad esempio , può essere trasformata in mediante una trasposizione di elementi adiacenti (trasposizione adiacente). È facile vedere (si consideri, ad esempio, ed dalla figura sopra) che qualsiasi elemento di qualsiasi estensione lineare può cambiare il numero di elementi adiacenti incomparabili al massimo su due: $v_1,v_2$ $\mathcal{P}$ $v_1$ $v_2$ $d$ $e$ $x_i$ $L=x_1x_2\dots x_n$

Se può essere trasposto del tutto, almeno un suo vicino, diciamo , è incomparabile ad esso ( , se comparabile, quindi ). Nota: prima di trasporre abbiamo e subito dopo - $x_i$ $x_{i+1}$ $x_i\parallel x_{i+1}$ $x_i\perp x_{i+1}$ $L_1=\dots x_{i-1}x_ix_{i+1}x_{i+2}\dots$ . $L_2=\dots x_{i-1}x_{i+1}x_{i}x_{i+2}\dots$
Consideriamo come potrebbe cambiare il numero di incomparabilità (grado dell'estensione lineare come vertice in ) in Inizialmente consideriamo la coppia . Per la stessa conclusione segue per simmetria. $G(\mathcal{P})$ $L$ $x_ix_{i+2}$ $x_{i-1}x_{i+1}$

Se , allora non cambia. Se , allora $x_{i+1}\parallel(\perp) x_{i+2}\land x_{i}\parallel(\perp) x_{i+2}$ $deg(L)$ $x_{i+1}\perp(\parallel) x_{i+2}\land x_{i}\parallel(\perp) x_{i+2}$ aumenta (diminuisce) di uno. Lo schizzo della dimostrazione è completato. $deg(L)$

Teorema . Sia - un grafico di estensione lineare. Se contiene vertici con , allora c'è tale che $G(\mathcal{P})$ $G(\mathcal{P})$ $v_1,v_2$ $deg(v_1)=k,deg(v_2)=k+2$ $v_3\in G(\mathcal{P})$ . $deg(v_3)=k+1$

Lo schizzo della prova.

Supponiamo che siano adiacenti in , altrimenti qualsiasi vertice con grado in è adiacente con qualche vertice se esiste con grado . $v_1,v_2,deg(v_1)=k,deg(v_2)=k+2$ $G(\mathcal{P})$ $k$ $G(\mathcal{P})$ $k+1$

Consideriamo il caso in cui abbiamo dal lemma precedente tale che $L_1,L_2$

X_{io + 1} ⊥ X_{io + 2} \land X_{io} ∥ X_{io + 2},

$x_{i+1}\perp x_{i+2}\land x_{i}\parallel x_{i+2},$

X_{io - 1} ⊥ X_{io} \land X_{io - 1} ∥ X_{io + 1},

$x_{i-1}\perp x_{i}\land x_{i-1}\parallel x_{i+1},$

Quindi . $deg(L_2)=deg(L_1)+2$

$x_{i+1}$ $x_1$

X_{j} ⊥ X_{io + 1} \land X_{io + 1} ∥ X_{j + 1},

$x_{j}\perp x_{i+1}\land x_{i+1}\parallel x_{j+1},$

j < i - 1

$j<i-1$

— Oleksandr Bondarenko
fonte

Nella dimostrazione del teorema, non seguo la prima frase. Per quanto riguarda la notazione, di solito ho visto

x \sim y

$x \sim y$ usato per denotarlo

x

$x$ e

y

$y$ sono comparabili.

— András Salamon

@ András Salamon Ho aggiunto alcuni chiarimenti (gradi di

v_{1}, v_{2}

$v_1,v_2$ ) alla prima frase della dimostrazione del teorema.

— Oleksandr Bondarenko,

@ András Salamon

x ⊥ y

$x\perp y$ viene utilizzato allo stesso modo, ad esempio qui: smartech.gatech.edu/bitstream/1853/33810/1/…

— Oleksandr Bondarenko,