Sistemi di addizione vettoriale con "ostacoli" finiti

Un sistema di addizione vettoriale (VAS) è un insieme finito di azioni . è l'insieme dei segni . Una corsa è una parola non vuoto di marcature st . Se esiste una parola del genere, diciamo che è raggiungibile da .N d m 0 m 1 … m n ∀ i ∈ { 0 , … , n - 1 } , m i + 1 - m i ∈ A m n m $A \subset \mathbb{Z}^d$$\mathbb{N}^d$$m_0 m_1\dots m_n$$\forall i \in \{0, \dots, n-1\}, m_{i+1}-m_i \in A$$m_n$$m_0$

Il problema della raggiungibilità per i VAS è noto per essere decidibile (ma la sua complessità è un problema aperto).

Ora supponiamo che sia data una serie finita di segni proibiti (gli ostacoli ). Vorrei sapere se il problema della raggiungibilità è ancora decidibile.

Intuitivamente, la serie finita di ostacoli dovrebbe interferire con i percorsi solo localmente, quindi il problema dovrebbe rimanere decidibile. Ma non sembra banale dimostrarlo.

EDIT . Terrò la risposta di @Jérôme come accettata, ma vorrei aggiungere una domanda di follow-up: cosa succede se l'insieme dei segni è ?$\mathbb{Z}^d$

L'idea si basa su una discussione che ho avuto con Grégoire Sutre questo pomeriggio.

Il problema è decidibile come segue.

Una rete Petri è un insieme finito di coppie in chiamato transizioni. Data una transizione , denotiamo con la relazione binaria definita sul set di configurazioni con se esiste un vettore tale che e . Indichiamo con la relazione di raggiungibilità ad un passo . La chiusura riflessiva e transitiva di questa relazione è indicata daN d × N d t = ( → u , → v ) t → N d → x t → → y → z ∈ N d → x = → u + → z → y = → v + → z T → ⋃ t ∈ T t → T ∗$T$$\mathbb{N}^d\times\mathbb{N}^d$$t=(\vec{u},\vec{v})$$\xrightarrow{t}$$\mathbb{N}^d$$\vec{x}\xrightarrow{t}\vec{y}$$\vec{z}\in\mathbb{N}^d$$\vec{x}=\vec{u}+\vec{z}$$\vec{y}=\vec{v}+\vec{z}$$\xrightarrow{T}$$\bigcup_{t\in T}\xrightarrow{t}$$\xrightarrow{T^*}$ .

Let tramite il componente per componente ordine classico parziale sulle e definita da se esiste tale che . La chiusura verso l'alto di un insieme di è l'insieme dei vettori . La chiusura verso il basso di un insieme è l'insieme dei vettori .N d → u ≤ → x → z ∈ N d → x = → u + → Z → X N d ↑ → X { → v ∈ N d | ∃ → x ∈ → X$\leq$$\mathbb{N}^d$$\vec{u}\leq \vec{x}$$\vec{z}\in\mathbb{N}^d$$\vec{x}=\vec{u}+\vec{z}$$\vec{X}$$\mathbb{N}^d$${\uparrow}\vec{X}$ → X ↓ → X { → v ∈Nd∣∃ → x ∈ → x$\{\vec{v}\in\mathbb{N}^d \mid \exists \vec{x}\in\vec{X}.\,\vec{x}\leq\vec{v}\}$$\vec{X}$${\downarrow}\vec{X}$$\{\vec{v}\in\mathbb{N}^d \mid \exists \vec{x}\in\vec{x}.\,\vec{v}\leq\vec{x}\}$

Notare che se per un set finito di e se è una rete di Petri, possiamo calcolare una nuova rete di Petri tale che per ogni configurazione , abbiamo e if, e solo se, . Infatti, se è una transizione, allora per ogni , lascia che dove è il vettore in→ B NdTT → B → x , → y → x T → → y → x , → y ∈ → U → x T → B → → y t=( → u , → v ) → b ∈ → B t → b =($\vec{U}={\uparrow}\vec{B}$$\vec{B}$$\mathbb{N}^d$$T$$T_{\vec{B}}$$\vec{x},\vec{y}$$\vec{x}\xrightarrow{T}\vec{y}$$\vec{x},\vec{y}\in\vec{U}$$\vec{x}\xrightarrow{T_{\vec{B}}}\vec{y}$$t=(\vec{u},\vec{v})$$\vec{b}\in\vec{B}$ → z Nd → z (i)=max{ → b (i)- → u (i), → b (i)- → v (i),0}1≤i≤dT → U ={t$t_{\vec{b}}=(\vec{u}+\vec{z},\vec{v}+\vec{z})$$\vec{z}$$\mathbb{N}^d$ definito per componente da per ogni . Si noti che soddisfa il requisito.$\vec{z}(i)=\max\{\vec{b}(i)-\vec{u}(i),\vec{b}(i)-\vec{v}(i),0\}$$1\leq i\leq d$$T_{\vec{U}}=\{t_{\vec{b}} \mid t\in T\,\vec{b}\in\vec{B}\}$

Ora, supponiamo che sia una rete di Petri, l'insieme di ostacoli. Introduciamo il set finito . Osserva che possiamo calcolare efficacemente un insieme finito di tale che . Sia la relazione binaria definita su di if , oppure esiste tale che→ O → D = ↓ → O → B N d ↑ → B = N d ∖ → D R N d ∖ → O → x R → y → x = → y → x ′ , → y ′ ∈ N d ∖ → O → x T → → x ′ T ∗ $T$$\vec{O}$$\vec{D}={\downarrow}\vec{O}$$\vec{B}$$\mathbb{N}^d$${\uparrow}\vec{B}=\mathbb{N}^d\backslash\vec{D}$$R$$\mathbb{N}^d\backslash \vec{O}$$\vec{x} R \vec{y}$$\vec{x}=\vec{y}$$\vec{x}',\vec{y}'\in \mathbb{N}^d\backslash \vec{O}$$\vec{x}\xrightarrow{T}\vec{x}'\xrightarrow{T_{\vec{B}}^*}\vec{y}'\xrightarrow{T}\vec{y}$.

Ora, osserva che se esiste una corsa dalla configurazione iniziale a quella finale che evita l'ostacolo , allora ne esiste una che evita l'ostacolo in e che passa per configurazioni in al massimo nel cardinale di quell'insieme. Quindi, il problema si riduce a selezionare configurazioni distinte non deterministicamente in , fix as la configurazione iniziale , come l'ultima e controlla che$\vec{x}$→ O → O → D ∖ → O → c 1,…, → c n → D ∖ → O → c 0 → x cn+1 → y → c jR → c j+1$\vec{y}$$\vec{O}$$\vec{O}$$\vec{D}\backslash \vec{O}$$\vec{c}_1,\ldots,\vec{c}_n$$\vec{D}\backslash \vec{O}$$\vec{c}_0$$\vec{x}$$c_{n+1}$$\vec{y}$$\vec{c}_j R \vec{c}_{j+1}$ per ogni . Quest'ultimo problema si riduce alle classiche domande di raggiungibilità per le reti di Petri.$j$

Ho pensato alla tua domanda per i sistemi di addizione vettoriale con stati (VASS) equivalenti a VAS e ho trovato questa soluzione. Ora, ho letto la bella risposta di Jérôme e devo dire che la mia risposta è molto simile, quindi per favore accetta la sua risposta anche se consideri la mia corretta.

Idea: è possibile convertire un VASS in un VASS che vieta vettori più piccoli o uguali agli ostacoli. Questo non è esattamente ciò che vogliamo, poiché è possibile raggiungere vettori più piccoli ma non uguali agli ostacoli. Tuttavia, ci sono finitamente molti di questi vettori. Ciò consente una scomposizione di corse minimali in molte corse finite che sono una transizione di o una corsa equivalente di . Pertanto, sì , il problema è decidibile.V ′ V V $V$$V'$$V$$V'$

Dettagli: Sia essere un -VASS, cioè è un insieme finito grafo etichettato tale che . Lascia che sia l'insieme di ostacoli. Sia e , scriviamo ogni volta che è un eseguito da per con ogni configurazione intermedia a . Indichiamod V T ⊆ Q × Z d × Q O ⊆ N d ¸ ∈ T * X ⊆ N$V=(Q,T)$$d$$V$$T \subseteq Q \times \mathbb{Z}^d \times Q$$O \subseteq \mathbb{N}^d$$\pi ­\in T^*$$X \subseteq \mathbb{N}^d$$p(\boldsymbol{u}) \xrightarrow{\pi}_X q(\boldsymbol{v})$$\pi$$p(\boldsymbol{u})$$q(\boldsymbol{v})$$Q \times X$${\downarrow}X = \{\boldsymbol{y} : \boldsymbol{y} \leq \boldsymbol{x} \text{ for some } \boldsymbol{x} \in X\}$ .

Sia una corsa minima tale che , ovvero una corsa minima che evita gli ostacoli. Quindi, secondo il principio del piccione, può essere fattorizzato come una corsa che entra solo finitamente molte volte. Più formalmente, esistono , e tale che$\pi$$p(\boldsymbol{u}) \xrightarrow{\pi}_{\mathbb{N}^d \setminus O} q(\boldsymbol{v})$$\pi$${\downarrow}O \setminus O$$t_1, t_1' \ldots, t_{n+1}, t_{n+1}' \in T \cup \{\varepsilon\}$$\pi_1, \ldots, \pi_{n+1} \in T^*$$\{p_i(\boldsymbol{u}_i), q_i(\boldsymbol{v}_i), r_i(\boldsymbol{w}_i)\}_{i \in [0,n+1]} \subseteq Q \times \mathbb{N}^d$

• $\pi = t_1 \pi_1 t_1' \cdots t_{n+1} \pi_{n+1} t_{n+1}'$ ,
• $\forall i \in [0,n]\ \; p_i(\boldsymbol{u}_i) \xrightarrow{t_{i+1}}_{\mathbb{N}^d} q_{i+1}(\boldsymbol{v}_{i+1}) \xrightarrow{\pi_{i+1}}_{\mathbb{N}^d \setminus {\downarrow}O} r_{i+1}(\boldsymbol{w}_{i+1}) \xrightarrow{t_{i+1}'}_{\mathbb{N}^d} p_{i+1}(\boldsymbol{u}_{i+1})$
• $p_0(\boldsymbol{u}_0) = p(\boldsymbol{u}),\ p_{n+1}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = q(\boldsymbol{v})$ ,
• $\forall i \in [1,n]\ \; \boldsymbol{u}_i \in {\downarrow}O \setminus O$ .
• $n \leq |Q| \cdot |{\downarrow}O|$.

Pertanto, è sufficiente indovinare , e le configurazioni intermedie. Verifica se può essere eseguito convertendo in un nuovo -VASS dove ogni transizione è sostituita da un gadget di transizioni. Ad esempio, se le transizioni vengono sostituite come segue:$n$$t_1, t_1', \ldots, t_{n+1}, t_{n+1}'$$p(\boldsymbol{x}) \xrightarrow{*}_{\mathbb{N}^d \setminus {\downarrow}O} q(\boldsymbol{y})$$V$$d$$V'$$t \in T$$4|O|+1$$O = \{(1,5), (2,3)\}$