La complessità di questo problema di percorso è nota?

Istanza: un grafico non orientato con due vertici distinti e un numero intero . $G$ $s\neq t$ $k\geq 0$

Domanda: Fa esiste una percorso nel , in modo tale che le interseca percorso al massimo triangoli? (Per questo problema si dice che un tracciato interseca un triangolo se il tracciato contiene almeno un bordo dal triangolo.) $s-t$ $G$ $k$

cc.complexity-theory graph-algorithms

— Andras Farago
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È sbagliato? Assegniamo il peso a ciascun bordo e quindi troviamo il percorso della st più breve. Il peso di ciascun bordo è il numero di triangoli che includono quel bordo. Il peso di questo percorso non è uguale al numero di triangoli che incontra ma è un percorso a st con un numero minimo di triangoli. (Il possibile problema è che possiamo contare uno o più triangoli due volte perché visitiamo due bordi di quel triangolo, ma il motivo per cui li scegliamo è che sono più piccoli che attraversare l'altro bordo del triangolo e inoltre abbiamo dei semplici percorsi due bordi di un triangolo sono uno accanto all'altro).

— Saeed,

@Saeed Non capisco: qual è l'argomento che l'eccesso di conto non ti fa scegliere un percorso non ottimale? Il tuo algoritmo è sicuramente un'approssimazione 2. Forse una soluzione è aggiungere un bordo per ogni percorso con peso uguale al numero di triangoli contenenti sia che

(u, w)

$(u, w)$

u \to v \to w

$u\to v \to w$

(u, v)

$(u,v)$

(v, w)

$(v,w)$

— Sasho Nikolov

Bene, possiamo andare da u a v e quindi scegliamo x (qualche altro nodo non nel triangolo uvw) quindi andiamo a w che è sbagliato (il mio errore è stato che mi sono perso tra vertici che non sono nel triangolo uvw) , ma con la tua correzione è corretto perché per ogni percorso di st con triangoli nel grafico originale c'è un percorso di peso nel grafico ausiliario. Inoltre, il peso del percorso nel nuovo grafico è sempre almeno pari al numero di triangoli nel percorso corrispondente nel grafico originale.

α

$\alpha$

α

$\alpha$

— Saeed,

Ci ripenso un po 'di più, anche dopo la correzione non funziona. Scusa Andras se ho portato una speranza sbagliata. Per capire perché fix è sbagliato, considera i vertici in un percorso e abbiamo un triangolo e e supponiamo che i bordi e siano incidenti con troppi triangoli . Se utilizziamo un nuovo bordo artificiale che collega contiamo il triangolo due volte. PS: Il mio ragionamento era di nuovo sbagliato perché ho pensato che semplicemente sostituire e con il nuovo (multi) bordo

u - > v - > w - > x

$u->v->w->x$

P

$P$

u, v, w

$u,v,w$

v, w, x

$v,w,x$

v x

$vx$

u w

$uw$

u - > w

$u->w$

v, w, x

$v,w,x$

u - > v

$u->v$

v - > w

$v->w$

u - > w

$u->w$ . Se aggiungiamo quei bordi artificiali per ogni percorso funzionerà in modo banale. Sembra che sia NPC.

— Saeed,

La mia idea non funzionerà - dovrei mantenere più set e penso che ce ne saranno troppi.

— reinierpost,

Supponiamo che in non ci siano spigoli . $G$

Per ogni fronte tra nodo e in , sia , ed se non c'è bordo. Calcola matrice $v_i$ $v_j$ $G$ $E[i,j]=1$ $E[i,j]=0$ $n\times n$ , che fornisce il numero di percorsi a due hop tra ciascuna coppia di nodi e . Quindi per il bordo tra e nelcalcolo altrimenti imposta $C[i,j]=\sum_{k=1}^n E[i,k]\cdot E[k,j]$ $v_i$ $v_j$ $v_i$ $v_j$ $G$ $D[i,j]=E[i,j]\cdot C[i,j]$ $D[i,j]=\infty$ , che indica il numero di triangoli di cui fa parte il bordo (o l'infinito se non c'è bordo). La moltiplicazione della matrice necessaria per calcolare i costi (potrebbe essere calcolata più velocemente a seconda della scarsità di ). $C$ $O(n^3)$ $G$

$n\times n$ $A$ $A[i,j]=\min(D[i,j],\min_k(D[i,k]+D[k,j]-E[i,j]))$ $A$ $D$

Ora calcola solo il percorso più breve tra e in su un nuovo grafico di cui è la matrice di adiacenza (ponderata) usando Dijkstra (poiché tutti i contorni sono positivi) cioè e determina se , dove è la chiusura sopra il semiring tropicale (che dà la matrice della distanza). $v_i$ $v_j$ $G$ $A$ $A^*[i,j]\leq k$ $A^*$

— Edgar
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