Moltiplicazione della matrice quantistica?

Non sembra che questo sia noto - ma ci sono limiti inferiori interessanti sulla complessità della moltiplicazione di matrici nel modello di calcolo quantistico? Abbiamo qualche intuizione che possiamo battere la complessità dell'algoritmo Coppersmith-Winograd usando i computer quantistici?

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— Henry Yuen
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Risposte:

In arXiv: quant-ph / 0409035v2 Buhrman e Spalek presentano un algoritmo quantico che batte l'algoritmo Coppersmith-Winograd nei casi in cui la matrice di output ha poche voci diverse da zero.

Aggiornamento: esiste anche un algoritmo quantistico leggermente migliorato di Dörn e Thierauf .

Aggiornamento: esiste un algoritmo quantistico migliorato di Le Gall che batte Burhman e Spalek in generale.

— Martin Schwarz
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Questa era una novità per me (so poco sui risultati quantistici), ma guardando il documento, il risultato è stato ancora più sorprendente! Se, per le moltiplicazioni di matrice

, ci sono

A_{n x m} B_{m x n} = C_{n x n}

$A_{nxm}B_{mxn}=C_{nxn}$

voci diverse da zero nell'output, il prodotto può essere calcolato in temposub-quadratico,

o (\sqrt{n})

$o(\sqrt{n})$

o (n m)

$o(nm)$

— Daniel Apon,

C'è un leggero miglioramento a questo per il caso particolare di prodotto matrice booleana, min {

} quando ci sono

nonzeroes nell'output. (È apparso nel nostro documento FOCS'10 `` Equivalenze subcubiche tra problemi di percorso, matrice e triangolo ''.)

n^{1.3} w^{17 / 30}, n^{2} + w^{47 / 60} n^{13 / 15}

$n^{1.3}w^{17/30}, n^2 + w^{47/60} n^{13/15}$

w

$w$

— virgi,

n w^{1 / 2}

$nw^{1/2}$

$v^\dagger X Y v$ $v X^{-1} v$ $X$

— Joe Fitzsimons
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v^{'} X Y v

$v'XYv$

@Aram: buon punto! So che il tuo algoritmo funziona per matrici sparse, ma avevo l'impressione che potesse essere fatto funzionare anche per determinate matrici non sparse. È corretto?

— Joe Fitzsimons,

Sì, funziona per matrici non sparse ogni volta che conosciamo buoni modi per simulare quegli hamiltoniani. Quindi forse qualcosa di non banale è possibile qui.

— Aram Harrow,

@Aram: con la codifica che usi, non otteniamo anche la trasformata di Fourier di tutte le matrici sparse tramite QFT?

— Joe Fitzsimons,

@Joe: l'ho appena notato. Sì, sono utilizzabili anche quelle matrici (che puoi considerare sparse nella base del momento). Questo non è niente di unico nel nostro algoritmo. Piuttosto è un'affermazione sulla classe di hamiltoniani che sappiamo simulare su un computer quantistico.

— Aram Harrow,