Algoritmo parallelo deterministico per una corrispondenza perfetta nei grafici generali?

Nella classe di complessità $\mathsf{P}$ , ci sono alcuni problemi che si ipotizza NON siano nella classe , cioè problemi con algoritmi paralleli deterministici. Il problema del flusso massimo è un esempio. E ci sono problemi a CREDERE di essere in , ma non è stata ancora trovata una prova.$\mathsf{NC}$$\mathsf{NC}$

Corrispondenza perfetta problema è uno dei problemi più fondamentale sollevata in teoria dei grafi: dato un grafo , dobbiamo trovare un abbinamento perfetto per . Come ho potuto trovare su Internet, nonostante il bellissimo algoritmo Blossom time polinomiale di Edmonds e un algoritmo RANDOMIZED parallelo di Karp, Upfal e Wigderson nel 1986, solo alcune sottoclassi di grafici hanno .$G$$G$$\mathsf{NC}$

Nel gennaio 2005 c'è un post nel blog complessità computazionale che afferma che rimane aperto sia perfetta Matching è in . La mia domanda è:$\mathsf{NC}$

C'è qualche progresso da allora, oltre l' algoritmo randomizzato ?$\mathsf{NC}$

Per chiarire il mio interesse, qualsiasi algoritmo che si occupa di grafici GENERALI è carino. Anche se gli algoritmi per le sottoclassi di grafici sono OK, ciò potrebbe non essere sulle mie attenzioni. Grazie a tutti!

MODIFICA al 27/12:

Grazie per tutto il vostro aiuto, provo a riassumere tutti i risultati in una sola figura:

Le classi più basse conosciute contengono i seguenti problemi:

• Corrispondenza nei grafici generali: [ KUW86 ], R N C 2 [ CRS93 ]$\mathsf{RNC}$$\mathsf{RNC}^2$
• Corrispondenza nei grafici bipartiti del genere planare / costante: / S P L [ DKT10 ] / [ DKTV10 ]$\mathsf{UL}$$\mathsf{SPL}$
• Corrispondenza quando il numero totale è polinomiale: [ H09 ]$\mathsf{SPL}$
• Lex-first matching massimo: [ MS89 ]$\mathsf{CC}$

Inoltre, sotto ipotesi di plausibile complessità: richiede circuiti esponenziali, la corrispondenza nei grafici generali è in S P L [ ARZ98 ].$\mathsf{SPACE[n]}$$\mathsf{SPL}$

algoritmi N C per abbinamenti perfetti nei grafici generali sono ancora aperti ma ci sono stati alcuni progressi. Eccone alcuni di cui sono a conoscenza:$NC$

Per i grafici generali, Agrawal-Hoang-Thierauf ha mostrato che, dato la promessa che il numero di abbinamenti perfetti è piccolo, esiste un algoritmo per elencarli tutti.$NC^2$

Per la classe dei grafici planari, il pfaffian gioca un ruolo importante. Kastelyn ha mostrato come ogni grafico planare può essere orientato in modo tale che il pfaffian sia esattamente uguale al numero di corrispondenze perfette. (Questo è stato usato da Valiant per fornire " algoritmi olografici " per vari problemi) Mahajan-Subramanya-Vinay ha mostrato come il pfaffian può essere calcolato in usando le modifiche delle sequenze di clow. (Kastelyn in effetti fornisce un algoritmo per trovare l'incorporamento in P ma non sono sicuro che l'incorporamento di pfaffian possa essere calcolato anche in N C ; in caso affermativo, ciò significherebbe che il conteggio delle corrispondenze perfette nei grafici planari è in N C. )$NC$$P$$NC$$NC$

E un recente risultato di Vinodchandran-Tewari mostrano che il lemma di isolamento può essere "derandomized" per grafi planari (utilizzando il teorema di verde!) Per mettere raggiungibilità planare a . Ma gli algoritmi N C per gli abbinamenti planari sono ancora aperti (grazie a Raghunath per aver corretto la mia affermazione che si trova in U L ). Un algoritmo N C per gli abbinamenti planari bipartiti è stato dato da Datta-Kulkarni-Roy$UL$$NC$$UL$$NC$

Spero che sia di aiuto.

Pochi anni dopo :) e Perfect Matching è ora noto per essere in Quasi-NC (cioè, hai bisogno di quasi molti processori polinomiali). Vedi l'articolo di Fenner, Gurjar e Thierauf (per grafici bipartiti) https://arxiv.org/pdf/1601.06319.pdf e il nostro lavoro con Ola Svensson (per grafici generali): https://arxiv.org/pdf/1704.01929

La derandomizzazione del lemma dell'isolamento da parte di Tewari-Vinodchandran non sfortunatamente dà un limite superiore UL alla corrispondenza planare. In realtà non penso nemmeno che un algoritmo NC non sia noto per la corrispondenza planare. Ma in un recente lavoro con Datta, Kulkarni e Nimbhorkar mostriamo un limite superiore UL sulla corrispondenza planare bipartita (la scrittura di questo risultato è ancora in corso). Questo è interessante perché prima di questo nemmeno un limite NL non era noto per questo problema.

Quando è noto che un problema di ottimizzazione è difficile, è normale esaminare le loro versioni massime. Ad esempio, mentre il set indipendente è NP-Complete, il primo lex massimo set indipendente, che è P-Complete.

$\sqrt n$

Tutto ciò indica che potrebbe non esserci una versione NC facilmente parallelizzabile per questo. Ma allora chi lo sa? Qualcuno potrebbe derandomizzare la versione RNC la prossima settimana!

Modifica: grazie Ramprasad. Ma ecco un altro link al documento.

$(1-\epsilon)-$$NC$$n^{\Theta(1/\epsilon)}$$O(\log^3 n)$

T. Fischer, AV Goldberg, DJ Haglin e S. Plotkin. Abbinamenti approssimativi in ​​parallelo. Informazioni. Proc. Lett., 46 (3): 115, 1993