certificato coNP per isomorfismo grafico

È facile vedere che l' isomorfismo grafico (GI) è in NP. È un grave problema aperto se GI è in coNP. Esistono potenziali candidati delle proprietà dei grafici che possono essere utilizzati come certificati coNP di IG. Qualche congettura che implica ? Quali sono alcune implicazioni di G I ∈ c o N P ?$GI \in coNP$$GI \in coNP$

Se è in c o N P , allora avremmo il risultato: G che non è N P -complete meno N P = c o N P = P H . (Attualmente noto: G I non è N P completo a meno che Σ 2 P = Π 2 P = P H ).$GI$$coNP$$GI$$NP$$NP=coNP=PH$$GI$$NP$$\Sigma_2 P = \Pi_2 P = PH$

Poiché è in c o A M , ovviamente derandomizing c o A M ( collegamento doi ) metterebbe G I ∈ C o N P , ma non so di qualsiasi proprietà del grafico candidato per mettere G I ∈ C o N P altrimenti. Non vedo l'ora di avere altre risposte!$GI$$coAM$$coAM$$GI \in coNP$$GI \in coNP$

È interessante notare che, in tale documento mostrano anche che Graph non ha Isomorfismo prove subexponential dimensioni - che è, - salvo P H = Σ 3 P . Questo è almeno andando nella direzione di mostrare condizionalmente che G mi ∈ C o N P .$GI \in co NSUBEXP$$PH = \Sigma_3 P$$GI \in coNP$

Che ne dici della gamma (cioè lista, una voce per fronte) di resistenze effettive? La resistenza effettiva di un bordo è la probabilità che il bordo si trovi in ​​un albero di spanning casuale. Resistenze efficaci possono essere trovate usando gli algoritmi di Spielman e Teng, anche se non so quanto sia facile da implementare (se si volessero fare esperimenti).

Supponiamo di avere due grafici fortemente regolari, che hanno gli stessi autovalori (e sappiamo che gli autovalori non distinguono necessariamente tra grafici non isomorfi). Quindi se le resistenze effettive (ovvero le liste, di nuovo) sono le stesse, non possono essere utilizzate per distinguere i grafici. Ma perché due grafici co-spettrali dovrebbero avere la stessa distribuzione dei loro bordi negli alberi spanning casuali? Esiste una connessione nota tra lo spettro del grafico e le resistenze effettive di un grafico? cioè conoscendo lo spettro del grafico, possiamo calcolare le resistenze effettive?

Potrebbe essere interessante sottolineare che se GI non è in coNP, allora P ≠ NP.

1) Se GI non è in coNp, allora GI ≠ NGI

2) Se GI ≠ NGI allora GI ≠ P

3) Se GI ≠ P, allora P ≠ NP

Come corollario delle proposizioni sopra che abbiamo: se GI non è in coNP, allora P ≠ NP. Lo stesso vale se NGI non è in NP.