È sufficiente ordinare polinomialmente molte sequenze 0-1 per una rete di smistamento?

Il principio 0-1 afferma che se una rete di ordinamento funziona per tutte le sequenze 0-1, allora funziona per qualsiasi set di numeri. Esiste una tale che se una rete ordina ogni sequenza 0-1 da S, allora ordina ogni sequenza 0-1 e la dimensione di è polinomiale in ? $S\subset \{0,1\}^n$ $S$ $n$

Ad esempio, se costituito da tutte le sequenze in cui vi sono al massimo corse (intervalli) di 1, allora esiste una rete di ordinamento N e una sequenza che non è ordinata da N se tutti i membri di sono ordinati da N? $S$ $2$ $S$

Risposta: Come si può vedere dalla risposta e dai commenti, la risposta è che per ogni stringa non ordinata esiste una rete di ordinamento che ordina ogni altra stringa. Una semplice prova di ciò è la seguente. Lascia che la stringa sia tale che per sempre e . Poiché non è ordinato, dopo ordinamento dovrebbe essere . Confronta con ogni per cui $s=s_1\ldots s_n$ $s_i=0$ $i<k$ $s_k=1$ $s$ $s_k$ $0$ $k$ $i$ . Quindi confrontare ogni coppia tale che e molte volte. Questo lascia l'intera stringa ordinata, tranne forse per , che non è ordinata per , e per alcune altre stringhe che hanno più 'di . Ora confrontare per downto tranne che per il luogo in cui dovrebbe andare in . Questo ordinerà tutto tranne . $s_i=1$ $(i,j)$ $i\ne k$ $j\ne k$ $s_k$ $s$ $1$ $s$ $s_k$ $i=n$ $1$ $s_k$ $s$ $s$

Aggiornamento: mi chiedo cosa succede se limitiamo la profondità della rete a . $O(\log n)$

ds.algorithms sorting sorting-network

— domotorp
fonte

Sembra che sia possibile è necessario limitare la dimensione della rete di smistamento ad essere più piccoli rispetto alle dimensioni del

. Altrimenti, la rete non potrebbe semplicemente verificare se l'ingresso è uno degli elementi di

e agire correttamente in tal caso, altrimenti agire in modo errato?

S

$S$

S

$S$

— usul

@usul: non credo che una rete di smistamento possa controllare una cosa del genere. Ad ogni modo, è naturale lavorare con reti di smistamento la cui dimensione è polinomiale in

n

$n$

— domotorp

Sembra di no Ian parberry fa riferimento ad un articolo di Chung e Ravikumar, dove presumibilmente conferiscono una costruzione ricorsiva di una rete di ordinamento che ordina ogni bitstring tranne uno, e in seguito dedurre che il problema di verificare una rete di ordinamento è - completa. Non riesco a trovare subito il documento originale, ma certamente corrisponde alla (mia) intuizione. $co$ $NP$

Modifica da aggiungere: in realtà è molto facile trovare una rete del genere che manca esattamente di una stringa. La stringa da perdere sarà . Ora vuoi solo un circuito che ordina gli ultimi bit, quindi ordina i primi bit. Questo circuito ordinerà qualsiasi cosa con almeno due s, ovviamente ordinerà la stringa tutto zero e ordinerà qualsiasi stringa che inizia con . $(1,0,\ldots,0)$ $n-1$ $n-1$ $1$ $0$

— Andrew D. King
fonte

La rete di ordinamento di esempio nella tua risposta può essere generalizzata, in modo che per ogni data stringa, puoi costruire una rete di ordinamento che ordina in modo errato quella stringa? Mostrate come farlo per una particolare stringa, ma per quanto riguarda le altre stringhe?

— DW

Puoi sicuramente farlo per qualsiasi stringa di peso

1

$1$

, ma dubito che sia possibile perdere una singolabit arbitraria.

n - 1

$n-1$

— Andrew D. King

OK, quindi non vedo come la tua risposta mostra che la risposta è "No". La costruzione nel secondo paragrafo della tua risposta non implica una risposta negativa alla domanda originale, poiché esistono solo polinomialmente molte stringhe di peso

. Sembra che tutto il lavoro nella tua risposta sia stato svolto dal riferimento nell'articolo di Ian Parberry, ma quella frase nell'articolo di Parberry è piuttosto vaga e senza leggere l'articolo di Chung et al non vedo come possiamo concludere che la risposta alla domanda è "No".

1

$1$

n - 1

$n-1$

— DW

Altre informazioni: " Forte riduzione non deterministica di Turing - una tecnica per dimostrare l'intrattabilità " (Chung e Ravikumar) elenca quanto segue come Lemma 2.1: data qualsiasi stringa non ordinata

, esiste una rete di ordinamento di dimensioni polinomiali che ordina correttamente tutte le stringhe tranne

. Per la prova si riferisce a "Sulla dimensione dei set di test per l'ordinamento e problemi correlati" (Chung e Ravikumar), ma non riesco a trovare una copia di quest'ultimo documento. Ciò implicherebbe effettivamente che la risposta a questa domanda è "No".

x

$x$

x

$x$

— DW

— Articolo