Portata della barriera delle prove naturali

La barriera di prove naturali di Razborov e Rudich afferma che sotto ipotesi crittografiche credibili non si può sperare di separare NP da P / poli trovando proprietà combinatorie di funzioni che sono costruttive, ampie e utili. Ci sono molti risultati noti che riescono a sfuggire alla barriera. Ci sono anche diversi articoli che discutono possibili scappatoie alle tre condizioni, come il risultato di Chow che mostra che la barriera è sensibile alle deboli violazioni della grandezza, e un recente articolo di Chapman e Williamssuggerendo come evitare potenzialmente la barriera rilassando la condizione di utilità. La mia domanda è se ci sono esempi, o addirittura la possibilità, di evitare la barriera delle prove naturali non violando la costruttività, la grandezza o l'utilità, ma cadendo completamente al di fuori del suo scopo. Cioè, non è affatto ovvio per me perché ogni potenziale metodo di prova dovrebbe essere basato sulla ricerca di "proprietà" combinatorie e quindi sulla suddivisione di tutte le funzioni in quelle che fanno e non soddisfano la proprietà. Perché questo quadro operativo deve applicarsi a tutte le possibili prove e, in caso contrario, come dovrebbero apparire altri tipi di prove?

Sia una funzione e sia C una classe di algoritmi che lavora su sezioni finite di f . Ogni circuito di limite inferiore di sorta è una prova che f ∉ C , per un po ' f e un po' C . Considera la "proprietà combinatoria delle funzioni booleane" P f , tale che$f: \{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}$$C$$f$$f \notin C$$f$$C$${\cal P}_f$

e P f (g)=0per tuttog≠f.${\cal P}_f(f) = 1$${\cal P}_f(g) = 0$$g \neq f$

Una prova che è una prova che P f è utile contro C , nella terminologia di Razborov e Rudich. Cioè, "l'utilità" è totalmente inevitabile - non c'è modo di "uscire dal suo campo di applicazione". Se hai dimostrato un limite inferiore del circuito, hai dato alcune proprietà utili.$f \notin C$${\cal P}_f$$C$

Si noti che, se , anche P f è anche costruttivo, nella terminologia di Razborov e Rudich. Così per funzioni f calcolabile raggio E ma non in (diciamo) P / P o l y , costruttività si applicherebbe anche ad almeno una struttura di funzioni booleane che è utile contro P / P o l y .$f \in TIME[2^{O(n)}]$${\cal P}_f$$f$$E$$P/poly$$P/poly$

Quindi, Razborov e Rudich sono più fondamentali di quanto si possa pensare inizialmente.

Hai ragione: il teorema delle prove naturali riguarda le proprietà naturali (e solo in modo informale sulle prove). Lo stesso Razborov scrisse due articoli nello stesso periodo esaminando la classe di prove formali e limiti inferiori di complessità:

• Aritmetica limitata e limiti inferiori nella complessità booleana , 1995
• Improvabilità dei limiti inferiori sulla dimensione del circuito in alcuni frammenti di aritmetica limitata , 1995

Il primo studia la formalizzazione di prove limite inferiore esistenti in frammenti deboli di aritmetica (limiti superiori sulla durezza della prova di complessità limiti inferiori).

$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$ZFC$$ZF$$PA$$PV$$PV$$\mathsf{P}$

$PV$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

$PV$

$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{P}$