Complessità temporale del conteggio dei triangoli nei grafici planari

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Il conteggio dei triangoli nei grafici generali può essere fatto in modo banale in tempo e penso che fare molto più velocemente sia difficile (riferimenti ben accetti). Che dire dei grafici planari? La seguente procedura semplice mostra che può essere fatto in tempo. La mia domanda è duplice: $O(n^3)$ $O(n\log{n})$

Qual è un riferimento per questa procedura?
Il tempo può essere reso lineare?

Dalla dimostrazione algoritmica del teorema del separatore planare di Lipton-Tarjan possiamo, nel tempo lineare nella dimensione del grafico, trovare una divisione dei vertici del grafico in tre insiemi tale che non ci siano bordi con un endpoint in e l'altro in , ha dimensioni delimitate da $A,B,S$ $A$ $B$ $S$ ed entrambihanno dimensioni superiori delimitate da $O(\sqrt{n})$ $A,B$ del numero di vertici. Si noti che qualsiasi triangolo nel grafico sia situata interamente all'internoo interamente all'interno dio di utilizzi almeno un vertice dicon gli altri due vertici dao entrambi da. Quindi è sufficiente contare il numero di triangoli nel grafico sue i vicini diin(e similmente per). Si noti chee i suoi-neighbours inducono ungrafico planare-outer (detto grafico è un sottografo di un grafico planare di diametro $\frac{2}{3}$ $A$ $B$ $S$ $A \cup S$ $B \cup S$ $S$ $S$ $A$ $B$ $S$ $A$ $k$ $4$ ). Quindi contare il numero di triangoli in un tale grafico può essere fatto direttamente mediante la programmazione dinamica o un'applicazione del teorema di Courcelle (so con certezza che una tale versione di conteggio esiste nel mondo Logspace di Elberfeld et al. E suppongo che esista anche nel mondo del tempo lineare) poiché la formazione di un triangolo non orientato è una proprietà e poiché una decomposizione dell'albero a larghezza limitata è facile da ottenere da un grafico planare -outer incorporato . $\mathsf{MSO}_1$ $k$

Così abbiamo ridotto il problema a una coppia di problemi che sono ciascuno una frazione costante più piccola a scapito di una procedura temporale lineare.

Si noti che la procedura può essere estesa per trovare il conteggio del numero di istanze di qualsiasi grafico collegato fisso all'interno di un grafico di input nel tempo . $O(n\log{n})$

reference-request graph-algorithms planar-graphs

— Samid
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Puoi contare i triangoli nei grafici generali prendendo la matrice di adiacenza

e calcolando

. Questo richiede

tempo, dove

è l'esponente della moltiplicazione della matrice.

A

$A$

t r (A^{3}) / 6

$tr(A^3)/6$

n^{ω}

$n^{\omega}$

ω < 2.373

$\omega < 2.373$

— Ryan Williams,

@RyanWilliams Hai ragione, ovviamente! Aggiornerò la domanda.

— SamiD

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Il numero di occorrenze di qualsiasi sottografo fisso H in un grafico planare G può essere contato in tempo O (n), anche se H è disconnesso. Questo, e diversi risultati correlati, sono descritti nell'articolo Subgraph Isomorphism in Planar Graphs and Related Problems di David Eppstein del 1999; vedi Teorema 1. Il documento utilizza effettivamente tecniche di larghezza degli alberi.

— Bart Jansen
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Sebbene la risposta di Bart Jansen risolva il caso generale del conteggio dei sottografi, il problema di contare (o elencare) tutti i triangoli in un grafico planare (o più in generale qualsiasi grafico di arboricità limitata) è noto per essere tempo lineare per molto più tempo. Vedere

C. Papadimitriou e M. Yannakakis, Il problema della cricca per i grafici planari, Inform. Proc. Lettere 13 (1981), pagg. 131-133.

e

N. Chiba e T.Nishizeki, algoritmi di elencazione dell'arboricità e dei sottografi, SIAM J. Comput. 14 (1985), pagg. 210–223.

— David Eppstein
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