La complessità degli hamiltoniani legiferati nell'area

Di recente ho pensato di "importare" alcune domande relative alla fisica nella CS quantistica:

La nozione del fenomeno dell'area-legge nei sistemi hamiltoniani di solito rappresenta un hamiltoniano locale su una grata, il cui groundstate mostra una proprietà in cui l'entanglement di qualsiasi regione chiusa è proporzionale alla superficie della regione, e non al suo volume (come sarebbe per uno stato generale). Una congettura famosa è se tutti gli Hamiltoniani a divergenza costante esibiscono questa proprietà della legge locale. Per i sistemi monodimensionali, Hastings ha risposto positivamente a questa domanda (arXiv: 0705.2024).

Tuttavia, la connessione tra tali sistemi e la teoria della complessità è molto vaga: mentre il risultato di Hastings implica che i sistemi 1-D rispettosi della legge dell'area possono essere simulati classicamente, per i sistemi generali questo è sconosciuto. Quindi la mia domanda è: vale la pena cercare di risolvere la congettura di legge? O, per dirla in senso opposto, si può escogitare un Hamiltoniano locale completo di QMA che è anche rispettoso della zona. Una piccola occhiata ai noti Hamiltoniani locali completi di QMA, che sono essenzialmente tutti basati sul teorema quantico di Cook-Levin di Kitaev rende che questi Hamiltoniani non hanno la proprietà della legge di area.

Si potrebbe considerare il seguente esempio leggermente sciocco di un sistema 2d che obbedisce a una legge di area che è completa di QMA. Prendi un sistema 2d, una riga della quale è uguale a uno dei noti Hamiltoniani 1d completi di QMA (vedi Aharonov, Gottesman, Irani, Kempe) e tutte le altre righe sono nello stato di un prodotto. Quindi, questo obbedisce a una legge di area (si consideri di disegnare un rettangolo che includa la riga data, con k righe e 1 colonne; l'intreccio è delimitato da un tempo costante 1 e anche l'area è almeno uguale a l).

Tuttavia, questo, secondo me, certamente non significa che la dimostrazione di una legge di area in 2d sarebbe inutile dal punto di vista della complessità. Piuttosto, penso che significhi che dobbiamo considerare non solo la legge dell'area per l'entropia dell'entanglement, ma anche altre proprietà dell'entanglement. Una di queste proprietà avrebbe un PEPS di dimensione del legame polinomiale. In realtà, provare che esiste una legge di area in 2d non implica avere un PEPS di dimensione del legame polinomiale. L'implicazione in 1d si basa sul fatto che possiamo tagliare il sistema attraverso vari legami, troncare a un rango Schmidt polinomiale attraverso ciascun legame e limitare l'errore. Questa procedura non funziona in 2d. Quindi, provare l'esistenza di un PEPS per un sistema con gap in 2d sarebbe il prossimo passo. La mia sensazione è che dimostrare una legge sulla zona in 2d sarebbe un buon primo passo per farlo.

In effetti, è ben studiato nella fisica della materia condensata che esistono hamiltoniani 2d gapless che obbediscono a una legge di area. Mentre in 1d, i sistemi che sono descritti dalla teoria dei campi conforme hanno un comportamento logaritmico dell'entropia entanglement, in 2d molti sistemi critici mostrano una legge di area e quindi i log si presentano nel comportamento subleading, quindi l'entropia è uguale a L + const * log (L) + ... Cioè, i termini interessanti e universali nell'entropia non sono i termini principali, ma i subleader, in tali teorie 2D.

Grazie per la risposta dettagliata e perspicace e per affinare la distinzione tra area-legge e dimensione del legame polinomiale.