Sono noti algoritmi subexponential per PLANAR SAT?

Alcuni problemi NP-difficili che sono esponenziali su grafici generali sono sottoesponenziali su grafici planari perché la larghezza dell'albero è al massimo e sono esponenziali nella larghezza degli alberi. $4.9 \sqrt{|V(G)|}$

Fondamentalmente mi interessa se esistono algoritmi subexponential per PLANAR SAT che è NP-completo.

Lasciate essere una formula CNF sulle variabili e l' clausola di -esimo è . $\phi$ $x_i$ $i$ $c_i$

Il grafico dell'incidenza p. 5 di è sui vertici e sui bordi iff o . $G$ $\phi$ $V(G)=\{x_i\} \cup \{c_i\}$ $(x_i,c_i)$ $x_i \in c_i$ $\lnot x_i \in c_i$

è in PLANAR SAT se il grafico dell'incidenza è planare. $\phi$

Esistono algoritmi subexponential per PLANAR SAT in termini di ? $\phi$

Non escludo la possibilità di ridurre SAT a PLANAR SAT per renderlo possibile, sebbene SAT sia ancora esponenziale e sia subesponenziale a causa dell'aumento delle dimensioni. $\phi$

graph-theory sat reductions

— joro
fonte

Esiste una condizione aggiuntiva nella definizione di PLANAR SAT, le variabili devono essere collegate con un ciclo attraverso di esse. Quello che hai descritto è noto come PLANAR * SAT.

— domotorp,

@domotorp Penso di aver citato correttamente e il documento afferma che il grafico è bipartito. Forse in altri documenti lo stesso nome è usato per qualcos'altro.

— joro,

Bene, puoi applicare il teorema del separatore planare insieme alla programmazione dinamica e ottenere il tempo di esecuzione

, dove

è il numero di vertici nel grafico. Presumo che tu voglia qualcosa di meglio?

2^{O (\sqrt{n})}

$2^{O( \sqrt{n})}$

n

$n$

— Sariel Har-Peled,

@ SarielHar-Peled La tua sarà una risposta, non hai bisogno di qualcosa di meglio (anche se il meglio è il benvenuto). Bugs me diverse formule potrebbero avere lo stesso grafico: negare un valore letterale.

— joro,

2^{o (\sqrt{n})}

$2^{o(\sqrt{n})}$

Bene, puoi applicare il teorema del separatore planare insieme alla programmazione dinamica e ottenere il tempo di esecuzione 2 O ( $2^{O(\sqrt{n})}$ $n$

Se un nodo di clausola è grande, allora devi essere un po 'più intelligente - devi indovinare se assegnarlo al sottoprogramma lato sinistro o destro. I dettagli di queste cose tendono ad essere disordinati e non immediati, quindi non ho intenzione di fornire ulteriori dettagli. Penso che gli articoli originali di Lipton e Tarjan abbiano risolto problemi simili usando idee simili, se la mia memoria mi ha servito bene.

— Sariel Har-Peled
fonte

k

$k$

2^{O (k)} p o l y (| ϕ |)

$2^{O(k)} poly(|\phi|)$

n

$n$

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

H

$H$

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

H

$H$

n

$n$

m

$m$

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

O (\sqrt{n + m})

$O(\sqrt{n+m})$

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

n

$n$

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

Questo è anche l'esercizio 41 degli Algoritmi esatti del 2003 di Woeginger per problemi NP-Hard: A Survey . dx.doi.org/10.1007/3-540-36478-1_17

— András Salamon