Divertimento con Ackermann inverso

La funzione inversa di Ackermann si verifica spesso durante l'analisi degli algoritmi. Una grande presentazione di questo è qui: http://www.gabrielnivasch.org/fun/inverse-ackermann .

α_{1} (n) = [n / 2]

$\alpha_1(n) = [n/2]$

e [Notazione: [x] significa che arrotondiamo x all'intero più vicino, mentre log ∗ è la funzione di log iterata discussa qui:

α_{2} (n) = [\log_{2} n]

$\alpha_2(n) = [\log_2 n]$

α_{3} (n) = \log^{*} n

$\alpha_3(n) = \log^* n$

. . .

$...$

α_{k} (n) = 1 + α_{k} (α_{k - 1} (n))

$\alpha_k(n) = 1 + \alpha_k(\alpha_{k−1}(n))$

α (n) = min {k : α_{k} (n) \leq 3}

$\alpha(n) = \min\{k: \alpha_k(n)\leq 3\}$ http://en.wikipedia.org/wiki/Iterated_logarithm ]

La mia domanda è: qual è la funzione Chiaramente . Quali limiti più stretti si possono dare su ? È ?

k (n) = min {k : α_{k} (n) \leq k}

$k(n) = \min \{k: \alpha_k(n) \leq k\}$

1 ≪ k (n) \leq α (n)

$1\ll k(n) \leq \alpha(n)$

k (n)

$k(n)$

k (n) \leq \log α (n)

$k(n) \leq \log\alpha(n)$

ds.algorithms ds.data-structures bounds

— Dana Moshkovitz
fonte

So perché , ma potresti spiegare perché ?

k (n) \leq α (n)

$k(n) \leq \alpha(n)$

k (n) ≪ α (n)

$k(n) \ll \alpha(n)$

— jbapple

Ok, modificato nell'incontestante .

k (n) < α (n)

$k(n)<\alpha(n)$

— Dana Moshkovitz,

@DanaMoshkovitz: ho approssimato le definizioni usando la gerarchia di Ackermann con cui ho familiarità: e . Con una definizione tipica delle funzioni di Ackermann, . Quindi se allora , cioè . (Spero di non aver fatto un errore lì dentro.)

α (n) = min {k : A_{k} (1) \geq n}

$\alpha(n)=\min\{k: A_k(1)\geq n\}$

k (n) = min {k : A_{k} (k) \geq n}

$k(n)=\min\{k:A_k(k)\geq n\}$

A_{k + 1} (1) = A_{k} (A_{k} (1)) \geq A_{k} (k)

$A_{k+1}(1)=A_k(A_k(1))\geq A_k(k)$

A_{k} (k) \geq n

$A_k(k)\geq n$

A_{k + 1} (1) \geq n

$A_{k+1}(1)\geq n$

k (n) \geq α (n) - 1

$k(n)\geq\alpha(n)-1$

— Sylvain,

@DanaMoshkovitz: per chiarire, sto usando e , che cresce leggermente più velocemente della tua definizione, ad es. invece di . Non dovrebbe avere molte conseguenze, tuttavia: e sono praticamente la stessa cosa.

A_{1} (n) = 2 n

$A_1(n)=2n$

A_{k + 1} (n) = A_{k}^{n + 1} (1)

$A_{k+1}(n)=A_k^{n+1}(1)$

A_{2} (n) = 2^{n + 1}

$A_2(n)=2^{n+1}$

2^{n}

$2^n$

α (n)

$\alpha(n)$

k (n)

$k(n)$

— Sylvain,

@DanaMoshkovitz: non vedo perché . Per infiniti valori di avrai , cioè ogni volta che ; poiché cresce rapidamente, hai sequenze sempre più lunghe. Con le tue definizioni è persino possibile avere : quindi ma .

k (n) < α (n)

$k(n)<\alpha(n)$

n

$n$

α (n) = k (n)

$\alpha(n)=k(n)$

A_{k} (k) < n \leq A_{k + 1} (1) < A_{k + 1} (k + 1)

$A_k(k)<n\leq A_{k+1}(1)<A_{k+1}(k+1)$

A_{k + 1} (1) - A_{k} (k)

$A_{k+1}(1)-A_k(k)$

α (n) < k (n)

$\alpha(n)<k(n)$

α_{2} (8) = 3 > 2

$\alpha_2(8)=3>2$

α (8) = 2

$\alpha(8)=2$

k (8) = 3

$k(8)=3$

— Sylvain,

Risposte:

Lascia che sia l'inverso di . . Dichiaro che . $A_k$ $\alpha_k$ $A_1(x) = 2x, A_2(x) = 2^x, \dots$ $k^{-1}(x) = A_x(x)$

Poiché e , . Di conseguenza . $x = \alpha_x(A_x(x))$ $\forall z, \alpha_y(z) > \alpha_x(z)$ $\alpha_y(A_x(x)) > \alpha_x(A_x(x)) = x$ $k(A_x(x)) = x$

Ora considera il valore di . Per definizione di , questo è . Sappiamo che , quindi . Dichiaro che . . Ora , quindi . Poiché , , quindi . Pertanto, $\alpha(k^{-1}(n)) = \alpha(A_n(n))$ $\alpha$ $\min_z \{\alpha_z(A_n(n)) \leq 3\}$ $\alpha_n(A_n(n)) = n$ $\alpha(A_n(n)) > n$ $\alpha(A_n(n)) \leq n+2$ $\alpha_{n+1}(A_n(n)) = 1+\alpha_{n+1}(n)$ $\alpha(n) = \min_z\{\alpha_z(n) \leq 3\}$ $\alpha_{\alpha(n)}(n) \leq 3$ $n+1 > \alpha(n)$ $\alpha_{n+1}(n) \leq 3$ $\alpha_{n+1}(A_n(n)) \leq 4$ $\alpha_{n+2}(A_n(n)) = 1 + \alpha_{n+2}(\alpha_{n+1}(n)) \leq 1 + \alpha_{n+2}(4) \leq 3$ .

Quindi, abbiamo , quindi e sono sostanzialmente uguali. $n < \alpha(k^{-1}(n)) \leq n+2$ $k$ $\alpha$

— jbapple
fonte

E lasciatemi aggiungere che tutte queste funzioni sono solo modi complicati di scrivere il numero 4.

— Sariel Har-Peled,

Questo non è corretto; vedi i commenti.

Una funzione molto vicina a questa era chiamata " " e usata in "Splay Trees di Pettie, Davenport-Schinzel Sequences e Deque Conjecture" , in cui mostrava che " operazioni di deque [in un albero di splay] prendono solo tempo, dove è il numero minimo di applicazioni della funzione inversa-Ackermann che mappa su una costante. " $\alpha^*$ $n$ $O(n\alpha^*(n))$ $\alpha^*(n)$ $n$

Questa funzione ha una crescita molto lenta e una crescita più lenta di . Considera la funzione $\log \alpha(n)$ $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

f (n) = {\begin{cases} 1 & n = 0 \\ 2^{f (n - 1)} & n > 0 \end{cases}

$f(n) = \cases{1 & n = 0\\2^{f(n-1)} & n > 0}$

Questa funzione sta crescendo all'incirca quanto , quindi cresce più lentamente di . Ora valuterò e su : $A(4,n)$ $A'(n) = A(n,n)$ $\log \alpha(n)$ $\alpha^*(n)$ $A'(f(n))$

\log α (A^{'} (f (n))) = \log f (n) = f (n - 1)

$\log \alpha(A'(f(n))) = \log f(n) = f(n-1)$

α^{*} (A^{'} (f (n))) = 1 + α^{*} (f (n)) < 1 + α^{*} (A^{'} (n)) < 2 + α^{*} (n)

$\alpha^*(A'(f(n))) = 1 + \alpha^*(f(n)) < 1 + \alpha^*(A'(n)) < 2 + \alpha^*(n)$

~~Poiché , il sta crescendo molto più velocemente di . $f(n-1) \in \omega(2+\alpha^*(n))$ $\log \alpha(n)$ $\alpha^*(n)$~~

— jbapple
fonte

Qual è la relazione tra alpha ^ * e k (n)? (nota che nella definizione di k (n) uso la notazione alpha_k (n) definita nel link che avevo nella domanda)

— Dana Moshkovitz

Oh, mi dispiace, ho letto il tuo

come

α_{k}

$\alpha_k$

α^{k}

$\alpha^k$

— jbapple