Test di proprietà per set indipendenti

Supponiamo di avere un grafico e i parametri . Esistono intervalli di valori per (o è fattibile per tutti ) per i quali è possibile verificare se è -far dall'avere un set indipendente di dimensioni almeno nel tempo ?$G$$k,\epsilon$$k$$k$$G$$\epsilon$$k$$O(n + \text{poly}(1/\epsilon))$

Se usiamo la solita nozione di -far (cioè al massimo i bordi dovrebbero essere cambiati per ottenere un tale set), allora il problema è banale per . Così$\epsilon$$\epsilon n^2$$k = O(n\sqrt{\epsilon})$

• Sembra che se è più grande, alcune idee di campionamento dovrebbero funzionare per risolvere il problema. È vero ?$k$
• Ci sono altre nozioni di -far (cioè invece edge ) al di sotto della quale ci sono risultati non banali?$\epsilon$$\epsilon |E|$

In pratica sto cercando riferimenti a questo punto.

Questo problema è stato davvero studiato. Goldreich, Goldwasser e Ron lo hanno studiato nel loro documento seminale che ha dato il via ai test delle proprietà dei grafici, e poi, Feige, Langberg e Schechtman hanno anche risultati su di esso nel loro documento FOCS '02 "Grafici con piccoli numeri cromatici vettoriali e enormi numeri cromatici" .

In particolare, [FLS '02] mostra che si può distinguere tra grafici con un insieme indipendente di dimensioni dai grafici ϵ -far di essere così (il che significa che almeno ϵ n 2 bordi devono essere rimossi per creare un insieme così indipendente) scegliendo un sottografo casuale indotto da s = ˜ O ( ρ 4 / ϵ 3 ) vertici casuali nel grafico e controllando se il sottografo casuale ha un set indipendente di dimensioni ρ s oppure no. ([GGR '98] ha mostrato un limite più debole su s di ˜ O ( ρ $\rho n$$\epsilon$$\epsilon n^2$$s = \tilde{O}(\rho^4/\epsilon^3)$$\rho s$$s$ .) [FLS '02] mostra anche un limite inferiore su s di Ω ( ρ 3 / ϵ 2 ) .$\tilde{O}(\rho/\epsilon^4)$$s$$\Omega(\rho^3/\epsilon^2)$

Un'altra definizione naturale di -close ad un insieme indipendente sta cambiando ε k 2 bordi. Purtroppo, con questa definizione, i test delle proprietà non sembrano risolvibili nel tempo polinomiale. Il motivo è che nessuno sa come trovare una cricca piantata (e un insieme altrettanto indipendente) di o ( $\epsilon$$\epsilon k^2$vertici in un grafico casuale dinvertici più veloce din O ( log n ) tempo. Si può dimostrare che un sottografo leggermente più denso della media può essere usato per trovare la cricca piantata in tempo polinomiale. Questa è la prova che esiste un algoritmo temporale polinomiale per questa variante del problema perktralogne$o(\sqrt{n})$$n$$n^{O(\log n)}$$k$$\log n$ .$\sqrt{n}$

Riferimento: Feige e Krauthgamer. Trovare e certificare una grande cricca nascosta in un grafico semirandom, 1999.