Complessità del recupero di una matrice di adiacenza dal suo quadrato

Sono interessato al seguente problema: data una matrice , esiste un grafico non orientato su vertici la cui matrice di adiacenza al quadrato è quella matrice? $n\times n$ $n$

La complessità computazionale di questo problema è nota?

Osservazioni:

Naturalmente questo può anche essere definito come un problema di ricerca, in cui ti viene data la matrice $A^2$ per $A$ una matrice di adiacenza di un grafico non orientato e il problema è trovare una matrice di adiacenza (di un grafico non orientato) $B$ tale che $B^2 = A^2$ .
Motwani e Sudan ( Calcolare le radici dei grafici è difficile , 1994) e Kutz ( La complessità del calcolo delle radici della matrice booleana , 2004) mostrano problemi simili ma distinti da questo sono NP-difficili - considerano solo il quadrato delle matrici di adiacenza sotto la matrice booleana moltiplicazione.

cc.complexity-theory graph-theory

— Ben Fish
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Il problema equivale a decidere l'esistenza di

n

$n$ vettori con determinati prodotti interni a coppie.

— Mohammad Al-Turkistany,

Molto recentemente c'è stato un documento che affrontava questa domanda per le matrici stocastiche piuttosto che per le matrici di adiacenza ( arxiv.org/abs/1411.7380 ). La proprietà di essere un quadrato in questo contesto è nota come divisibilità e viene mostrata come NP-completa nel documento che ho citato.

— Māris Ozols,

@ MohammadAl-Turkistany come sono equivalenti? La soluzione al problema di OP richiede una struttura aggiuntiva rispetto ai vettori generici (valore intero, alcuni indici devono essere zero, ecc.).

— Jeremy Kun,

Ciò dovrebbe essere correlato al controllo se una sequenza di gradi è grafica. Si noti che in

A^{2}

$A^2$ la diagonale rappresenta la sequenza dei gradi e

(A^{2})_{i j}

$(A^2)_{ij}$ il numero di vicini comuni di vertici

i, j

$i,j$ . Quindi è una restrizione al problema della sequenza grafica dei gradi. Non ho idea di come risolverlo però.

— SamiD,

Risposte:

È noto che i quadrati dei grafici bipartiti possono essere riconosciuti in tempi polinomiali (Vedi questo ). In generale, esiste una caratterizzazione della complessità di questo problema in base alla circonferenza del grafico sottostante.

Recentemente c'è stata un'ottimizzazione variante studiata, che dà algoritmi FPT per il problema quando si vuole verificare se un grafico ha una radice quadrata con al massimo (rispettivamente almeno) bordi per un dato numero intero . $s$ $s$

— Nikhil
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Grazie per la risposta, ma i risultati che menzioni non sono rilevanti per questo problema - presumono, come nel documento di Motwani e del Sudan, che la matrice data sia una matrice di adiacenza e l'obiettivo è trovare un altro grafico la cui matrice di adiacenza quadrata sotto La moltiplicazione della matrice booleana è la matrice data. Considerando che in questo problema non è booleano, ma moltiplicazione di matrice intera. In altre parole, questo problema non riguarda la radice quadrata di un grafico mentre usano il termine.

— Ben Fish,

@BenFish Oops. Ho frainteso la tua domanda. Per le matrici Integer, non vedo alcun modo migliore di approssimare semplicemente la radice quadrata della matrice, anche se presumo che tu sia interessato a calcolare questa come radice quadrata di un grafico ponderato (e non ho idea di come farlo)

— Nikhil,

@Nikhil la radice quadrata di una matrice non è unica, quindi fare questo non risolve la domanda

— Lev Reyzin

@LevReyzin Hai ragione. In generale, penso che l'unicità possa essere caratterizzata dallo spettro della matrice (forse non forniscono una condizione necessaria e sufficiente). Ci sono alcuni risultati interessanti noti per le matrici stocastiche - Vedi eprints.ma.man.ac.uk/1241/01/covered/MIMS_ep2009_21.pdf

— Nikhil

Se il grafico sottostante è un grafico sparso, casuale, si può risolvere il problema della "radice quadrata del grafico" in tempo polinomiale; questo vale anche per i grafici ponderati. Esempi di articoli che utilizzano questa idea sono la ricerca di comunità sovrapposte nei social network e i limiti disponibili per l'apprendimento di alcune rappresentazioni profonde . Qualche idea su algoritmi simili per le radici del cubo grafico, la quarta radice ecc.?

— Pratik
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