Complessità della versione di ricerca di 2-SAT assumendo

Se , allora c'è un algoritmo che risolve logspace la versione decisionale di 2-SAT.$\mathsf{L = NL}$

• È implica che esiste un algoritmo di spazio di log per ottenere un incarico soddisfacente , quando viene data un'istanza 2-SAT soddisfacente come input?$\mathsf{L = NL}$

• In caso contrario, che dire degli algoritmi che utilizzano lo spazio sub-lineare (nel numero di clausole)?

Dato un 2-CNF soddisfacente , è possibile calcolare un determinato compito soddisfacente e mediante una funzione NL (ovvero, esiste un predicato NL P ( ϕ , i ) che indica se e ( x i ) è vero). Un modo per farlo è descritto di seguito. Userò liberamente il fatto che NL è chiusa in riduzioni A C 0 , quindi le funzioni NL sono chiuse in composizione; questa è una conseguenza di NL = coNL.$\phi$$e$$P(\phi,i)$$e(x_i)$$\mathrm{AC}^0$

Sia un 2-CNF soddisfacente. Per qualsiasi letterale una , lasciare un → tramite il numero di letterali raggiungibile da un da un percorso diretto nel grafo di implicazione φ , e un ← il numero di letterali da cui è raggiungibile. Entrambi sono calcolabili in NL.$\phi(x_1,\dots,x_n)$$a$$a^\to$$a$$\phi$$\let\ot\leftarrow a^\ot$$a$

Osserva che e , a causa della simmetria obliqua del grafico delle implicazioni. Definire un compito modo che ¯ a ←=a→$\let\ob\overline \ob a^\to=a^\ot$$\ob a^\ot=a^\to$$e$

• se , quindi ; e ( a ) = $a^\ot>a^\to$$e(a)=1$

• se , quindi ; e ( a ) = $a^\ot<a^\to$$e(a)=0$

• se , lasciate i essere minimo tale che x io o ¯ x i appare nella componente fortemente connessa di un (non può essere sia, come φ è soddisfacibile). Inserisci e ( a ) = 1 se appare x i , ed e ( a ) = 0 altrimenti.$a^\ot=a^\to$$i$$x_i$$\ob x_i$$a$$\phi$$e(a)=1$$x_i$$e(a)=0$

La simmetria obliqua del grafico implica che , quindi questo è un compito ben definito. Inoltre, per qualsiasi bordo a → b nel grafico delle implicazioni:$e(\ob a)=\ob{e(a)}$$a\to b$

• Se non è raggiungibile da b , quindi a ← < b ← e a → > b → . Pertanto, e ( a ) = 1 implica e ( b ) = 1 .$a$$b$$a^\ot<b^\ot$$a^\to>b^\to$$e(a)=1$$e(b)=1$

• Altrimenti, e b sono nella stessa componente fortemente connessa, e un ← = b ← , un → = b → . Pertanto, e ( a ) = e ( b ) .$a$$b$$a^\ot=b^\ot$$a^\to=b^\to$$e(a)=e(b)$

Ne segue che .$e(\phi)=1$