Applicazioni per la teoria degli insiemi, la teoria ordinale, la combinatoria infinita e la topologia generale in informatica?

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Sono un matematico interessato alla teoria degli insiemi, alla teoria ordinale, alla combinatoria infinita e alla topologia generale.

Ci sono applicazioni per queste materie nell'informatica? Ho guardato un po 'e ho trovato molte applicazioni (ovviamente) per la teoria dei grafi finiti, la topologia finita, la topologia a bassa dimensione, la topologia geometrica ecc.

Tuttavia, sto cercando applicazioni degli oggetti infiniti di questi soggetti, ovvero alberi infiniti ( alberi di Aronszajn per esempio), topologia infinita ecc.

Qualche idea?

Grazie!!

set-theory topology topological-graph-theory

— user135172
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vedi anche Applicazione di argomenti di teoria degli insiemi come ordinali, forzanti, filtri generici nell'ingegneria del software cs.se

— vzn

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Oltre alla grande risposta di Neel, potresti anche essere interessato a ordinali calcolabili, che svolgono un ruolo interessante nella teoria della calcolabilità: en.wikipedia.org/wiki/Recursive_ordinal

— Joshua Grochow

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Una delle principali applicazioni della topologia in semantica è l'approccio topologico alla calcolabilità.

L'idea di base della topologia della calcolabilità deriva dall'osservazione che terminazione e nonterminazione non sono simmetriche. È possibile osservare se un programma black-box termina (semplicemente attendere abbastanza a lungo), ma non è possibile osservare se non termina (poiché non si può mai essere certi di non aver aspettato abbastanza per vederlo terminare). Ciò corrisponde all'equipaggiamento del set di due punti {HALT, LOOP} con la topologia Sierpinski, dove $\emptyset, \{HALT\}, and \{HALT, LOOP\}$ sono i set aperti. Quindi, in pratica, possiamo sostanzialmente ottenere un "set aperto" equiparabile a "proprietà calcolabile". Una sorpresa di questo approccio ai topologi tradizionali è il ruolo centrale svolto dagli spazi non Hausdorff. Questo perché in pratica è possibile effettuare le seguenti identificazioni

\begin{matrix} C o m p u t un' B io l io t y & T o p o l o g y \\ genere & Spazio \\ Funzione calcolabile & Funzione continua \\ Set decidibile & Set clopen \\ Set semi-decidibile & Apri set \\ Set con complemento semidecidabile & Set chiuso \\ Impostato con uguaglianza decidibile & Spazio discreto \\ Impostato con uguaglianza semidecidibile & Spazio Hausdorff \\ Set esaustivamente ricercabile & Spazio compatto \end{matrix}

$\begin{matrix} \mathbf{Computability} & \mathbf{Topology}\\ \mbox{Type} & \mbox{Space} \\ \mbox{Computable function} & \mbox{Continuous function} \\ \mbox{Decidable set} & \mbox{Clopen set} \\ \mbox{Semi-decidable set} & \mbox{Open set} \\ \mbox{Set with semidecidable complement} & \mbox{Closed set} \\ \mbox{Set with decidable equality} & \mbox{Discrete space} \\ \mbox{Set with semidecidable equality} & \mbox{Hausdorff space} \\ \mbox{Exhaustively searchable set} & \mbox{Compact space} \\ \end{matrix}$

Due buone indagini su queste idee sono la Topologia di MB Smyth nel Manuale di Logica in Informatica e la Topologia sintetica di tipi di dati e spazi classici di Martin Escardo .

Anche i metodi topologici svolgono un ruolo importante nella semantica della concorrenza, ma ne so molto meno.

— Neel Krishnaswami
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Grazie per la tua risposta illuminante! Darò un'occhiata.

— user135172

È possibile cercare una topologia più fine per la sola gerarchia polinomiale?

— T ....

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Un'affascinante applicazione di queste idee può essere trovata nella serie di post "Programmi funzionali apparentemente impossibili" - math.andrej.com/2007/09/28/… , math.andrej.com/2014/05/08/seemingly-impossible -proofs

— jkff

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N

$\mathbb{N}$

k \in N

$k \in \mathbb{N}$

{k} \subseteq N

$\{k\} \subseteq \mathbb{N}$

N

$\mathbb{N}$

N

$\mathbb{N}$

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Il premio Gödel del 2004 è stato condiviso tra i lavori:

La struttura topologica del calcolo asincrono .
Di Maurice Herlihy e Nir Shavit, Journal of ACM, vol. 46 (1999), 858-923
L'accordo k-Set senza attesa è impossibile: la topologia della conoscenza pubblica .
Di Michael Saks e Fotios Zaharoglou, SIAM J. on Computing, vol. 29 (2000), 1449-1483.

Citazioni dal Premio Gödel 2004:

I due articoli offrono una delle scoperte più importanti nella teoria dell'informatica distribuita.

La scoperta della natura topologica del calcolo distribuito fornisce una nuova prospettiva sull'area e rappresenta uno degli esempi più sorprendenti, possibilmente in tutta la matematica applicata, dell'uso delle strutture topologiche per quantificare i fenomeni computazionali naturali.

Articoli correlati: Applicazioni della topologia all'informatica

— Hengxin
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Sebbene queste siano certamente grandi applicazioni della topologia nella TCS, sono in realtà applicazioni della "topologia combinatoria / algebrica" piuttosto che quello che penso che l'OP intendesse per "topologia generale" (che è più nel punto teorico / set-teorico / logico arena).

— Joshua Grochow,

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Il comportamento di un sistema reattivo è spesso modellato usando strutture infinite (alberi di calcolo infiniti tracciati e infiniti) e anche le loro proprietà temporali (proprietà di sicurezza e vivacità) sono state caratterizzate usando la topologia.

Definizione di Lively Alpern e Schneider

Sicurezza e vitalità nella ramificazione Manolios et. al.

— Mitesh J
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