Ci sono argomenti nel CS teorico che riguardano maggiormente la matematica pura?

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Sono uno studente laureato in informatica teorica, e in particolare algoritmi di approssimazione. Ora scopro di essere più interessato alla matematica pura (posso dirlo perché mi sembra che mi siano piaciuti i corsi di matematica più dei corsi CS). Vorrei chiedere se ci sono aree dell'informatica teorica che sono praticamente pure matematica (per essere più precisi, un'area che è di per sé pura matematica da sola senza considerare le applicazioni a CS), o se ho bisogno di considerare un passaggio importante. Sono già due anni e mezzo nel programma, quindi non sono sicuro se un passaggio sarebbe una buona idea a questo punto.

L'unica cosa che ho potuto trovare è stata la teoria dei grafi minori, dagli elenchi di accettazione delle principali conferenze. Ma ciò non conta come 'area' per cui posso solo concentrarmi.

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— scientificlens
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Qualsiasi area dell'informatica che coinvolge la matematica pura è probabilmente motivata più dall'informatica che dalla matematica pura. Considera i cicli hamiltoniani: cosa può essere la matematica più pura che preoccuparsi dei cicli che attraversano i vertici di un intero grafico? Se questo ha connessioni con la logica, non è ancora più eccellente da una prospettiva matematica pura? Ma come puoi essere più radicato in CS che contemplare HAMCYCLE?

— Niel de Beaudrap

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"Posso dirlo perché mi sembra che mi siano piaciuti di più i corsi di matematica": Non credo che questo dia un'idea abbastanza buona di ciò che ti disturba in TCS per rispondere alla tua domanda. Ci sono molte cose che interessano sia le TCS che le comunità matematiche, ma le domande che vengono poste sono in genere un po 'diverse. Inoltre non mi è chiaro perché la teoria dei grafi minori non sia un'area su cui puoi concentrarti?

— Sasho Nikolov,

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In ogni caso, alcune idee: matrimoni metrici; Analisi di Fourier su gruppi abeliani finiti; Catene di Markov su uno spazio di stato discreto / finito.

— Sasho Nikolov,

esempi in

— vzn,

Per quanto riguarda il rischio di cambio, forse Exchange stack Stack sarebbe più adatto?

— Clément,

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Ecco altri tre campi che soddisfano i tuoi criteri.

Teoria delle categorie . Ciò è chiaramente interessante per la maggior parte dei campi matematici puri, ma è stato anche molto influente nella teoria dei linguaggi di programmazione (funzionale, sequenziale).
Logica , in particolare teoria delle prove. Le connessioni con l'informatica sono troppe per essere nominate, ma la logica non è solo un campo ricco di matematica pura, ma il fondamento della matematica.
Teoria dei numeri , la "regina della matematica", che era considerata priva di applicazioni ... fino all'arrivo della crittografia.

— Martin Berger
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nota la logica vedi la teoria della complessità descrittiva esp (wikipedia)

— vzn

Non sono sicuro che la teoria delle categorie (in particolare quella usata in CS) sia interessante per la maggior parte dei campi matematici a livello di ricerca, anche se viene usata come linguaggio di base in diverse aree. Ad esempio, sebbene la teoria delle categorie si manifesti chiaramente a livello di ricerca in (alcune) geometrie algebriche e teoria della rappresentazione, quel tipo di teoria delle categorie è molto diverso da quello usato nell'informatica, per quanto ne so.

— Joshua Grochow,

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@JoshuaGrochow Questo è in parte vero, ma in parte è perché sono in corso lavori. Ci sono allettanti suggerimenti che puntano verso una più profonda integrazione: (1) le basi univalenti di Voevodsky cercano di unificare le idee di percorso nella teoria dell'omotopia con prove nella logica; (2) le teorie coalgebriche dei numeri reali di Pavlovic et al; (3) basi categoriche della meccanica quantistica, vedi ad esempio "Fisica, topologia, logica e computazione: una pietra di Rosetta" di Baez e Stay.

— Martin Berger,

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Sì: la teoria dei grafi, la geometria computazionale, la teoria della complessità, la combinatoria sono le cose su cui cerco in CS. Gli spazi vettoriali e la teoria delle misure potrebbero essere utili anche nell'apprendimento automatico teorico.

Ci sono molti più matematica pure impiegate nel CS teorico, ma non arrivano alle notizie così spesso come l'intelligenza artificiale e l'apprendimento automatico, motivo per cui non ne senti molto parlare.

Personalmente sono passato a CS dalla fisica e dalla matematica pura (sì, come algebra astratta tipo di matematica), e non smetto mai di trovare problemi interessanti.

— Keng
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E aggiungerei Geometria discreta a questo elenco.

— Sariel Har-Peled,

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La teoria della complessità geometrica è estremamente "matematica" e molti dei suoi principali investigatori sono più matematici. vedi ad es. Teoria della complessità geometrica: un'introduzione per geometri / Landsberg
La teoria dei gruppi viene collegata al TCS in molti modi profondi, ad esempio nello studio della parola problema, isomorfismi e indecidibilità. vedere ad es. IL PROBLEMA DI PAROLA E IL PROBLEMA DELL'ISOMORFISMO PER I GRUPPI / Stillwell
alcune teorie sugli automi sono molto matematiche, ad esempio la connessione dei semigruppi ai trasduttori a stati finiti, ecc. vedi ad es. Fondamenti matematici della teoria / pin degli automi

— VZN
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Perché le citazioni intorno a "matematiche"?

— Joshua Grochow,

in alcune aree può essere difficile differenziare il contenuto "(T) CS" da "matematico" come pone la domanda, la fine di quella frase dovrebbe essere "i principali investigatori sono [quasi] più matematici degli informatici"; i due campi si stanno lentamente fondendo in molti modi, questo può essere visto nel 20 ° secolo e sta continuando / aumentando nel 21 ° secolo. una fusione in corso probabilmente degna di un intero libro e alcuni si avvicinano (ad esempio Davis, Engines of Logic: Mathematicians and the Origin of the Computer ).

— vzn,

La domanda era piuttosto chiara a questo proposito: "un'area che è di per sé interessante per la matematica pura senza considerare le applicazioni a CS". Questo è certamente vero per molte, se non la maggior parte, delle domande matematiche che sorgono in GCT.

— Joshua Grochow,

ecco un altro riferimento simile all'indecidibilità nella teoria dei gruppi e nei problemi di parole. TRASFORMANDO MACCHINE PER PROBLEMI DI PAROLA / Miller

— vzn

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$\mathbb{B}$ $\mathbb{F}_2$

Ad esempio, si fa uso di semigruppi (anche i gruppi svolgono un ruolo importante) e molti risultati su semigruppi finiti negli ultimi anni sono stati originariamente motivati dalla teoria degli automi. Vengono utilizzati anche i semirings (piuttosto che gli anelli): ad esempio, il semiring tropicale è stato introdotto per la prima volta nella teoria degli automi prima di essere utilizzato nella geometria tropicale , una nuova area di successo in matematica. Altri argomenti relativi agli automi includono la logica e la teoria dei modelli finiti (si pensi al teorema dell'albero di Rabin), la topologia, la dualità e gli spazi (quasi) -uniformi e una certa teoria dei numeri (in particolare per le questioni che riguardano i sistemi di numerazione e le serie di potenze formali), la teoria della probabilità ( in particolare le catene di Markov) e la teoria dei giochi.

— J.-E. perno
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B

$\mathbb{B}$

B^{*}

$\mathbb{B}^*$

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Per dire qualcosa in più sulla Teoria della complessità geometrica (GCT): questa è l'applicazione della geometria algebrica e la teoria della rappresentazione verso un programma a lungo termine per risolvere P contro NP. Le domande sollevate in GCT tendono ad essere profonde domande matematiche, alcune delle quali risalgono a oltre 100 anni fa ai pionieri della geometria algebrica e della teoria della rappresentazione - apparentemente non hanno nulla a che fare con il calcolo, ma tramite GCT si vede che sono in realtà intimamente correlati con complessità computazionale - e altri dei quali sollevano nuove domande e idee nella matematica pura (di nuovo, geometria algebrica e teoria della rappresentazione).

— Joshua Grochow
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Non totalmente un argomento di teoria CS ma utilizza molti risultati di CS teorica: potresti essere interessato alla verifica del software quale obiettivo è garantire che un programma faccia quello che dovrebbe fare, e nient'altro. Tra le diverse tecniche in questo argomento, alcune sono particolarmente orientate alla matematica. Molti sistemi critici, in particolare avionici / spaziali / nucleari, sono stati dimostrati in questo modo per garantire che siano privi di bug.

Sono coinvolti molti campi matematici: logica, teoria delle prove, teoria degli automi, teoria degli insiemi, ...