Risultati controintuitivi per gli studenti universitari

Sto cercando esempi di risultati che vanno contro l'intuizione della gente per un discorso generale del pubblico. Risultati che se richiesti da non esperti "che cosa ti dice il tuo intuito?", Quasi tutti sbagliano. La dichiarazione dei risultati dovrebbe essere facilmente spiegabile agli studenti universitari in cs / matematica. Sono principalmente alla ricerca di risultati in informatica.

Quali sono i risultati più controintuitivi / inattesi (di interesse generale) nella tua zona?

Per un pubblico generico devi attenersi alle cose che possono vedere . Non appena inizi a teorizzare, avvieranno i loro telefoni cellulari.

Ecco alcune idee che potrebbero essere elaborate per completare esempi:

1. C'è una superficie che ha solo un lato .
2. Una curva può riempire un intero quadrato .
3. Ci sono curve a larghezza costante diverse da un cerchio.
4. È possibile colorare il piano con tre colori in modo tale che ogni punto di confine sia un triplo bordo .

Se puoi fare affidamento su un po 'di conoscenza matematica, puoi fare di più:

1. Ci sono tanti numeri dispari quanti sono i numeri naturali.
2. Esiste una funzione continua e in nessun modo differenziabile .
3. C'è una funzione $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ che è discontinua in tutti i numeri razionali e differenziabile in tutti i numeri irrazionali.
4. Il "paradosso" di Banach-Tarski .

Per i programmatori puoi provare:

1. Le funzionali impossibili : c'è un programma che prende un predicato p : stream → bool, in cui streamè il tipo di dati di sequenze binarie infinite, e ritorna truese e solo se p αè trueper tutti i corsi d'acqua α(che è numerabile molti), e falsein caso contrario.

2. È possibile giocare a poker per telefono in un modo affidabile che impedisce di barare.

3. Un gruppo di persone può calcolare il loro stipendio medio senza che nessuno scopra lo stipendio di un'altra persona.

4. Esiste un programma che costruisce un albero binario $T$ con le seguenti proprietà:

   • l'albero è infinito$T$
   • non esiste un programma che traccia un percorso infinito in $T$

Un'idea è qualcosa di semplice dagli algoritmi di streaming . Probabilmente il miglior candidato è l'algoritmo di maggioranza. Supponi di vedere un flusso di numeri , uno dopo l'altro e sai che un numero compare più della metà delle volte, ma non sai quale. Come puoi trovare il numero di maggioranza se ricordi solo due numeri alla volta ? La risposta è l'algoritmo Misra-Gries.$s_1, \ldots, s_n$

Ad ogni passaggio si memorizza un numero dal flusso e un contatore di frequenza f . All'inizio imposti x sul primo numero dello stream e inizializzi la frequenza f su 1. Quindi ogni volta che vedi un nuovo numero s i , controlli se x = s i . Se x = s i , aumenta f fino a f + 1 , altrimenti diminuisci f fino a f - 1 . Se f = 0 , imposta x su s $x$$f$$x$$f$$s_i$$x = s_i$$x=s_i$$f$$f+1$$f$$f-1$$f=0$$x$$s_i$e torna a 1 . Dopo l'ultimo elemento del flusso, se c'era un elemento di maggioranza, sarà uguale a $f$$1$$x$ .

Un'altra idea è il noto gioco per illustrare prove di conoscenza zero . Penso che sia dovuto a Oded Goldreich ed è simile alla prova della conoscenza zero per l'isomorfismo grafico.

Per rendere la risposta autonoma, ecco il gioco. Supponiamo che tu voglia convincere il tuo amico daltonico a distinguere il rosso dal verde. Il tuo amico ha due mazzi di carte e sa che una pila è verde e l'altra rossa. Fa quanto segue senza che tu lo veda: con probabilità 1/2 pesca una carta da ogni mazzo, con probabilità 1/4 pesca due carte dal mazzo sinistro e con probabilità 1/4 pesca due carte dal mazzo destro . Quindi ti mostra le carte e ti chiede se sono dello stesso colore. Se non sei daltonico, puoi ovviamente rispondere correttamente ogni volta. Se sei daltonico, fallirai con probabilità 1/2. Quindi ora se il gioco viene giocato 10 volte, la probabilità che tu possa vincere ogni volta pur essendo daltonico è estremamente bassa.

Il kicker è che se il tuo amico sapeva che i due mazzi di carte sono di due colori diversi, ma non sapeva quale fosse rosso e quale verde, alla fine non lo saprebbe ancora! Quindi in sintesi:

1. C'è spazio per la casualità nelle prove.
2. Puoi convincere qualcuno che conosci qualcosa senza dargli alcuna informazione al riguardo.

Il volume di una sfera unitaria di dimensione prima cresce man mano che n cresce ( 2 , π , 4 π / 3 , ... ) ma inizia a diminuire per n = 6 e alla fine converge a 0 come n → ∞ .$n$$n$$2,\pi,4\pi/3,\dots$$n=6$$0$$n\to\infty$

A counter intuitive result from complexity theory is the PCP theorem:

$NP$$A$, there is an efficient randomized Turing machine that can verify proof correctness (proof of membership in $A$) using logarithmic number of random bits and reading only constant number of bits from the proof. The constant can be reduced to 3 bits. Therefore, the randomized verifier needs to read only three bits from the proclaimed proof.

One thing that proves to be counterintuitive for CS undergraduates, is the fact that one can select the $i$-th order statistics from an unsorted array of $n$ elements in $O(n)$ time. All of the students think they must first necessarily sort the array (in $O(n~lg ~n)$ time).

building on MdBs answer/ angle, a classic result of something counterintuitive at the time of discovery in TCS at its foundations is the existence of (un)decidability itself. at the turn of the 20^th century Hilbert, mirroring the thinking of other leading mathematicians of the time, thought that mathematics could be systematized (somewhat in the form of what we now recognize as algorithmic) & somewhat via the concept of "finitism" (which has rough parallels to the idea of an algorithm as a finite sequence of steps). he proposed famous open problems along these lines. his (and others) intuition turned out to be wrong in a sort of spectacular way. the counterproof is Godels theorem and Turings Halting problem. both were initially extremely abstract concepts/ results and long, highly technical papers/ arguments only understandable to leading mathematicians of the time, but now are refined to simpler conceptual structures and taught to undergraduates. these were not initially seen as two aspects/face of the same phenomenon but now they are.

also it took close to ~¾ of a century to prove that integer Diophantine equations are undecidable, Hilberts 10th problem. this is counterintuitive in the sense that it was always known that number theory was extremely difficult but the concept that some specific/ identifiable problems in it may actually be "impossible to resolve" was nearly shocking at the time to some. undecidability continues to be a deep challenge in math/ TCS even as we have decades of exponential increases in hardware due to Moores law and yet massive supercomputers that are in a sense still "powerless against it". some aspects of the surprise of undecidability can be found in the book Mathematics, Loss of Certainty by Klein.

It seems obvious, but from personal experience, the idea that you can estimate the median of a collection of items using a constant number of operations is a little shocking. And if that seems a little too technical, you can always convert it into a statement about polls an elections (you need 1300 people to get a sample with 3% error, regardless of the population size).

Related to this is the birthday paradox of course.

Perhaps a good example (not directly related to computational complexity) is the Turing universality of simple computational models.

For example the rule 110 is efficiently (weakly) universal:

Given an (infinite) array of 0-1 (white-black) cells properly initialized and the simple substitution rules:

we have a "working computer"! :-)

For the definition of "weakly" and "efficient", and for other examples of simple universal Turing machines look at: Turlough Neary, Damien Woods; The complexity of small universal Turing machines: a survey.

Another puzzling example is the Turing completeness of the FRACTRAN "programming language":

• the "program" is a list of fractions: $(p_1/q_1, p_2/q_2,..., p_n/q_n)$;
• given an input $n$ find the first $q_i$ that divides $n$ and replace $n \leftarrow n \cdot \frac{p_i}{q_i}$;
• repeat the previous step until no $q_i$ divides $n$.

With a suitable encoding of the input $n$, FRACTRAN can simulate any Turing machine.

You can also use other models, like cyclic tag systems, ant-automata, ....
The not-so-intuitive idea is that "computation" is hidden almost everywhere ... Wolfram wrote 1192 pages filled with figures and text to better express that idea in his A New Kind of Science (yes... yes... despite some critical reviews I finally bought a hard-copy of it :-)

A few good candidates off the top of my head:

• Every NFA has an equivalent DFA

• There exists a finite field of size $p$ or $p^i$ where $i \in \mathbb{N}$ and $i > 0$.

• Public key cryptography

  • Calling to a function with encrypted arguments and receiving the desired result without revealing information about your inputs

  • RSA encrpytion

• Reed-Solomon codes

• Countability

  • $|\mathbb{N}| = |\mathbb{Z}| = |\mathbb{N} \times \mathbb{N}| = |\mathbb{Q}|$

  • The set of elements in the language $\{0,1\}^*$ is countable, but $\mathbb{R}$ is uncountable (Cantor's diagonalization)

  • Cantor's Theorem: $|S| < |\mathcal{P}(S)|$

• On a more philosophical level, it astonished me that Turing machines accurately define computation