Che cos'è un buon dizionario di teoria della teoria del dominio di categoria?

Quando ho a che fare con le categorie teoriche del dominio (diciamo CPO e CPO), desidero spesso un dizionario per il linguaggio della teoria delle categorie nella teoria dei domini. $\omega$

Cioè, dato un concetto, dire la freccia monica, potrei cercarlo nel dizionario e vedere quali sono le caratterizzazioni note di esso nelle diverse categorie di dominio.

Mi rendo conto che questo desiderio è troppo da sperare, ma c'è qualche testo o risorsa che lo avvicina?

— Ohad Kammar
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Risposte:

La miglior risorsa per questo è il capitolo del manuale di Abramsky e Jung. Ricordo che avevano una tabella che faceva riferimento a varie costruzioni e categorie di domini, con le voci che dicevano se la costruzione funzionava in quella categoria e quali proprietà aveva. Tuttavia, le proprietà delle frecce come l'essere un monico tendevano a non avere caratterizzazioni terribilmente fluide, poiché la disponibilità di domini piatti tende a garantire che spesso non siano terribilmente diverse dalla loro controparte teorica. OTOH, le proprietà che fanno un uso della struttura dell'ordine (come essere una coppia di inclusione-proiezione) tendono ad avere caratterizzazioni piuttosto carine.

Un aspetto secondario a cui prestare attenzione è che in realtà ci sono due definizioni di CPO di uso comune! I consumatori della teoria dei domini (come me) spesso preferiscono lavorare con omega-catene, poiché le catene sono oggetti piuttosto concreti; mentre i produttori di teoria dei domini (come, ad esempio, il tuo consulente) tendono a preferire lavorare con insiemi diretti, che sono più generali e hanno migliori proprietà algebriche. (Non sono sicuro se limitare a insiemi diretti con base numerabile equivale alla condizione della catena omega.)

Qualcosa che ho trovato molto utile nella costruzione di questo tipo di dizionario è quello di lavorare attraverso la soluzione di equazioni di dominio ricorsive in alcune categorie di cose che non sono esattamente domini. Due buone scelte sono le categorie di PER (ad esempio, nei modelli di polimorfismo) e presheave (ad esempio, per l'assegnazione dei nomi). Gli spazi metrici sono un'altra possibilità, ma li ho trovati troppo simili ai domini per aiutarmi a costruire l'intuizione.

— Neel Krishnaswami
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Sì, ho familiarità con il capitolo di Abramsky et al., In particolare con la tabella. Come hai detto, descrivono le strutture fondamentali (prodotti, somme, esponenziali, ecc.), Ma l'elenco è lungi dall'essere completo.

— Ohad Kammar,

Mi è venuta in mente la domanda quando stavo discutendo di diverse possibilità per una definizione, e dovevamo confrontare diversi concetti categorici (diverse nozioni di frecce moniche, per essere esatti). Sono rimasto un po 'sorpreso quando mi sono reso conto che la nostra metodologia era o di elaborare rapidamente comode caratterizzazioni usando intuizione, vecchi articoli e qualsiasi libro che ci veniva in mente, specialmente quando le nozioni non erano così oscure nozioni categoriche. Naturalmente, questo metodo si chiama "competenza" (che mi manca), ma come programmatore ho sentito che potrebbe esserci un modo migliore per farlo.

— Ohad Kammar,

Oh, a proposito, per quanto riguarda detto produttore --- quanti di questi problemi con i DCPO sono dovuti alla cronologia delle ricerche? Se guardi i modelli originali di Scott del -calculus, usava reticoli continui, che sono persino più forti dei DCPO (giusto?). In retrospettiva, sappiamo che i reticoli continui non sono la migliore nozione e funzionano con CPOs, o con qualsiasi sapore adatto (CPO appuntiti o su PERs, ecc.). In effetti, è qui che si manifesta il pieno vantaggio della teoria delle categorie. So che al giorno d'oggi è perfettamente contento di lavorare con CPO quando dobbiamo consumare qualcosa.

λ

$\lambda$

ω

$\omega$

ω

$\omega$

— Ohad Kammar,

Potresti voler guardare Smyth e Plotkin 1982, "Sulla soluzione teorica di categoria delle equazioni di dominio ricorsivo", o alcuni dei lavori di Paul Taylor (dimentico i riferimenti esatti), o "Proprietà relazionali dei domini" di Andy Pitts del 1996. Tutti questi articoli fanno le cose attraverso caratterizzazioni astratte dall'alto verso il basso delle proprietà necessarie. Io ho trovato questi articoli un po 'troppo astratti per me fino a quando non ho analizzato i dettagli concreti in un paio di esempi. Quindi furono chiari!

— Neel Krishnaswami,

Markowsky 1977, Categorie di poseti completi di catena ha una bella tabella per alcune varianti di CPO.

— Ohad Kammar,

Non sono sicuro che ce ne sia uno. Esistono tuttavia molti buoni libri sulla teoria delle categorie e ancora più serie di appunti di lezioni di varia qualità. Wikipedia ha anche molte informazioni affidabili sulla teoria delle categorie e sulla teoria dei domini . Un'altra buona risorsa Internet è nCatLab , anche se si sposta maggiormente nella teoria delle categorie di dimensione superiore.

Un buon riferimento alla teoria dei domini è S. Abramsky, A. Jung (1994). "Teoria del dominio". A S. Abramsky, DM Gabbay, TSE Maibaum, editori, (PDF). Manuale di logica in informatica. III. La stampa dell'università di Oxford. ISBN 0-19-853762-X.

I libri sulla teoria delle categorie che ho effettivamente visto sono:

Awodey, Steve (2006). Teoria delle categorie (Oxford Logic Guides 49). La stampa dell'università di Oxford. 2a edizione, 2010. Una buona introduzione recente, inclinata verso l'informatica
Barr, Michael; Wells, Charles "Teoria delle categorie per la scienza informatica." Difficile da ottenere, cioè non disponibile da Amazon
Lawvere, William; Schanuel, Steve (1997). Matematica concettuale: una prima introduzione alle categorie. Cambridge University Press. Introduzione deliziosa, forse non abbastanza profonda
Mac Lane, Saunders (1998). Categorie per il matematico di lavoro. Testi di laurea in matematica 5 (2a edizione). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. Forse troppo matematico
Pierce, Benjamin (1991). Teoria delle categorie di base per informatici. MIT Premere. Forse troppo semplice
Taylor, Paul (1999). Fondamenti pratici di matematica. Cambridge University Press. Abbastanza completo; prende una prospettiva logica

Altri libri sono disponibili online come Toposes, Triple e Teorie di Barr & Well e Jiri Adámek, Horst Herrlich e Categorie astratte e concrete di George E. Strecker - La gioia dei gatti . È probabile che contengano tutte le definizioni necessarie, almeno dal lato della teoria delle categorie.

— Dave Clarke
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Grazie per la risposta esaustiva. Tuttavia, come hai detto, è abbastanza facile trovare materiale sulla teoria dei domini e sulla teoria delle categorie. E, in effetti, molto. Ma questo è il problema, la conoscenza è diffusa su così tante pagine di libri, convenzioni e notazioni, che accedervi (anche con Google) diventa non banale. Immagino che la differenza sia tra avere uno scaffale pieno di libri di testo e un buon libro di consultazione che cita solo le relazioni e le citazioni.

— Ohad Kammar,

Un approccio per risolvere questo problema per le generazioni future è quello di scrivere il tuo dizionario di termini come li incontri.

— Dave Clarke,

Forse sviluppare la nostra versione di ncatlab ?

— Uday Reddy

Che ne dici di chiedere al tuo consulente? Ha inventato una buona parte della teoria dei domini.

— Andrej Bauer
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ridacchia Come ho detto sopra, mi è venuta in mente l'idea di discutere alcune nozioni teoriche di categoria in diversi settori. Il mio pensiero esatto era: sicuramente dovrebbe esserci un modo migliore che chiedere a un esperto di sfogliare l'intera letteratura o di indovinare ...

— Ohad Kammar,